Así que la gran pregunta es que muestra que el cociente $A_{\mathbb{Q}}$ puede ser identificado con el pro-universal cubriendo de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ $$A_{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q} = \varprojlim_n\, \mathbb{R}/n\mathbb{Z},$$el límite proyectivo siendo tomado el conjunto de los naturales a los enteros ordenados por la divisibilidad de la orden.
Hay una secuencia exacta $$0 \to \mathbb{R} \times \hat{\mathbb{Z}} \to A_\mathbb{Q} \to \bigoplus_p \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p \to 0$$where $\bigoplus_p \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p $ is the subgroup of $\prod_p \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ consisting of sequences $(x_p)$ whose members $x_p \in \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ vanish for almost all $p$. Considere ahora el homomorphism entre los dos exacta secuencias:
$$\requieren{AMScd}
\begin{CD}
0 @>>> 0 @>>> \mathbb{Q} @>>> \mathbb{Q} @>>> 0\\
@VVV @VVV @VVV @VVV @VVV\\
0 @>>> \hat{\mathbb{Z}} \times \mathbb{R} @>>> A_\mathbb{Q} @>>> \bigoplus_p \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p @>>> 0
\end{CD}
$$
Debido a que el medio flecha vertical es inyectiva y el derecho de flecha vertical es surjective con kernel $\mathbb{Z}$, la serpiente lema induce una secuencia exacta$$0 \to \mathbb{Z} \to \hat{\mathbb{Z}} \times \mathbb{R} \to A_{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q} \to 0,$$ $\mathbb{Z}$ being diagonally embedded in $\hat{\mathbb{Z}} \times \mathbb{R}$. In other words, there is a canonical isomorphism$$A_\mathbb{Q}/\mathbb{Q} \to (\hat{\mathbb{Z}} \times \mathbb{R})/\mathbb{Z}.$$Dividing both sides by $\hat{\mathbb{Z}}$, we get an isomorphism $$A_{\mathbb{Q}}/(\mathbb{Q} + \hat{\mathbb{Z}}) \to \mathbb{R}/\mathbb{Z}.$$By the same argument, for every $n \in \mathbb{N}$ we can identify the covering $$A_\mathbb{Q}/(\mathbb{Q} + n\hat{\mathbb{Z}}) = A_\mathbb{Q}/(\mathbb{Q} + C_n)$$ of $A_\mathbb{Q}/(\mathbb{Q} + \hat{\mathbb{Z}})$ with the covering $\mathbb{R}/n\mathbb{Z}$ of $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. Hence $A_{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$ is the pro-universal covering of $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$.
