Ideal mínimo de un anillo conmutativo con unidad

Question

¿Alguien puede ayudarme a probar esto? Este es del Fundamentals of Abstract Algebra de Malik.

Un ideal$I$ de un anillo$R$ se llama ideal mínimo si$I≠{0}$ y no existe ningún ideal$J$ de R tal que${0}≠J⊂I$.

Si$I$ es un ideal mínimo de un anillo conmutativo$R$ con$1$, muestre que$I^2={0}$ o$I=eR$ para algún idempotente$e∈R$.

Answer 1

Supongamos$I^2 \neq 0$, luego$\exists a\in I$ tal que$aI \neq 0$. Por lo tanto,$aI = I$, y así$\exists e\in I$ tal que$ae = a$.

Ahora,$J = (e^2-e)R \subset I$ y$J\neq I$ (porque si$J=I$, luego$aI = a(e^2-e)R = 0$), y por lo tanto$J = 0$, de ahí que$e$ es un idempotente y$I = eR$.