Probar un límite para demostrar una desigualdad, $\frac{\ln t}{t^{1/3}}$

Question

Esta es una pregunta sobre una tarea, así que por favor no hay soluciones completas, pero si alguien pudiera guiarme para responder a esta pregunta estaría muy agradecido. Gracias

Demostrar que $\displaystyle \frac{\ln t}{t^{1/3}} \rightarrow 0$ como $t \rightarrow \infty$ . A partir de la denominación de límite (tomando $\epsilon = 1$ ), se deduce que para un tamaño suficientemente grande $t$ , $(\ln t) ^3 \leq t$ .

Answer 1

ADD Si por casualidad no lo sabes:

• Por una inyección de un conjunto $A$ a un conjunto $B$ se entiende una función $f:A\to B$ que es uno-uno, o inyectivo.

• Por función monótona entendemos una función que "preserva" o "invierte" el orden siempre. Es decir, o bien $a\leq b$ implica $f(a)\leq f(b)$ (siempre) o $a\leq b$ implica $f(a)\geq f(b)$ siempre.

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Tenga en cuenta que el mapa $$x\mapsto x^3$$ es una inyección de reales positivos a reales positivos, que preserva la monotonicidad. Si miramos su límite $$\lim_{t\to \infty}\frac{\log t}{t^{1/3}}=\ell$$

podemos argumentar que esto es lo mismo que dejar $t^3\to \infty$ para que $$\lim_{t\to \infty}\frac{\log t^3}{t}=\ell$$

o

podemos argumentar que esto es lo mismo que dejar $t^3\to \infty$ para que $$\lim_{t\to \infty}3\frac{\log t}{t}=\ell$$

Ahora, podemos inyectar $\Bbb R^+$ en $\Bbb R_{\geq 1}$ por $t\mapsto e^t$ y preservando la monotonicidad (es decir $t\to\infty \iff e^t \to \infty$ ) para que

$$\lim_{t\to \infty}3\frac{\log e^t}{e^t}=\ell$$

que da

$$\lim_{t\to \infty}\frac{3t}{e^t}=\ell$$

¿Puede demostrar que dado cualquier $\epsilon >0$ existe $M>0$ tal que para $t\geq M$ , $te^{-t}<\epsilon$ ?

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De la definición del límite, $t^{-1/3}\log t \to 0$ como $t\to \infty $ significa que para cada $\epsilon >0$ existe $M>0$ tal que para $t\geq M$ tenemos $t^{-1/3}\log t <\epsilon$ . En particular, si $\epsilon =1$ está dado, existe un $M'$ tal que para $t\geq M$ - es decir, sobre $[M,\infty)$ - tenemos $$t^{-1/3}\log t <1$$ ¿que es lo mismo que...?

Answer 2

Cuando haya demostrado que $\lim_{t\to\infty}(\log t)/t^{1/3}=0$ por la definición de límite se puede concluir que, para cualquier $\varepsilon>0$ existe $M$ de modo que, para cualquier $t>M$ la desigualdad $$ \left|\frac{\log t}{t^{1/3}}\right|\le \varepsilon $$ se mantiene.

No es restrictivo asumir que $M>1$ , por lo que a partir de la desigualdad se obtiene inmediatamente $$ \log t \le \varepsilon t^{1/3} $$ o, de forma equivalente, $$ (\log t)^3 \le \varepsilon^3 t $$ para todos $t>M$ .

¿Qué valor de $\varepsilon$ ¿necesitas ahora?

Entonces, lo que queda es demostrar que el límite es $0$ que no debería ser muy difícil.

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Nota. Lo siento, pero no soy capaz de escribir nada más que " $\log$ " para el logaritmo natural.