Eigenvalues ​​y Eigenvectors de Large Matrix

Question

La computación de los autovalores y autovectores de una $2\times2$ matriz es fácil por la solución de la ecuación característica. Sin embargo, la cosa se complica si la matriz es mayor.

Supongamos que tiene esta matriz con calculan los autovalores y autovectores:

$$\begin{pmatrix}12&4\\3&7\end{pmatrix}$$

Entonces, yo tengo esta $4\times4$ matriz que contiene dos copias de esta matriz:

$$\begin{pmatrix}12&4&0&0\\3&7&0&0\\0&0&12&4\\0&0&3&7\end{pmatrix}$$

Para encontrar los valores propios, tendría que resolver una ecuación de $4$th grado y tiene que calcular un enorme factor determinante. Pero creo que debe haber una manera más fácil de calcular.

He a $2$ preguntas aquí:

• Hay un truco que puedo usar aquí para calcular, a sabiendas de que los valores propios de arriba $2\times2$ matriz ya?

• ¿Cómo sería el intercambio de las filas o columnas de mi $4\times4$ cambio en la matriz los valores propios?

Por favor, siéntase libre de responder a ninguna de las dos. Tengo la esperanza de que una solución más fácil que existe para esto.

Answer 1

Como se observa, los valores propios de una matriz a son las raíces de su polinomio característico. Este hecho es útil en la teoría (y para obtener una buena calificación en su clase de álgebra lineal :-) ), pero, en la vida real, sería muy raro para calcular los autovalores de esta manera.

Hay muy buenos métodos numéricos para el cálculo de autovalores y autovectores. Por ejemplo, buscar en LAPACK, o EISPACK, o el número de Recetas de libros. El software fue escrito por expertos de clase mundial, y en muchos casos es bastante antiguo, por lo que ha sido muy bien probado. Ninguno de estos métodos utilizan el polinomio característico; ellos suelen trabajar de forma iterativa por la transformación de la matriz de alguna manera (la Cabeza de transformaciones, o Jacobi transformaciones, por ejemplo).

En realidad, lo irónico es que la relación entre el polinomio de raíces y valores propios a menudo se explotan en la opuesta dirección. Si usted quiere encontrar las raíces de un polinomio, uno de los enfoques para la construcción de su compañero de la matriz, y luego encontrar sus valores propios. Este enfoque se utiliza en la raíz del finder en el Chebfun sistema, por ejemplo -- se encuentra rutinariamente raíces de polinomios cuyos grados son en los cientos.

En cierto sentido, la búsqueda de autovalores es más fácil que encontrar el polinomio de raíces, ciertamente más alta calidad de los métodos numéricos de software está disponible para ayudar. Y, para cualquier realistas autovalor problema, con métodos numéricos son inevitables. Incluso para las matrices 3x3, donde se puede obtener las raíces del polinomio característico por una fórmula, los métodos numéricos se suelen dar más respuestas acertadas (aunque podría ser un poco más lento).

Answer 2

En primer lugar, si usted tiene un "bloque diagonal de la matriz como en el ejemplo, los valores propios de la matriz son la combinación de los autovalores de los bloques más pequeños de la diagonal. Así que, sí, en el caso de la $4 \times 4$ matriz, los valores propios son sólo los de los dos $2 \times 2$ bloques en su diagonal (se repite de acuerdo a la multiplicidad).

Segundo, el intercambio de dos filas (o dos columnas, resp.) no conservar los autovalores y tiene un poco impredecible efecto en los valores propios. Sin embargo, si usted intercambio tanto de un par de filas y el correspondiente par de columnas, esto es una similitud tranformation y conserva los valores propios (de acuerdo a la multiplicidad).

Answer 3

Creo que generalmente no hay un método fácil para encontrar los valores propios ya que algunas de las matrices incluso podrían no tener valores propios agradables, como números complejos en su caso. Para dimensiones superiores a 5, es bien sabido que un polinomio de grado 5 no podría tener una solución explícita. Pero a veces uno puede encontrar sus vectores propios y, por lo tanto, encontrar sus valores propios, sin embargo, esto solo se aplica a algunos casos.