Demostrar que un grupo abeliano finito es simple si y sólo si su orden es primo.

Question

Así que estoy teniendo problemas con este problema. Sé que la definición de grupo simple significa que el grupo no tiene subgrupos no triviales. Sé que esto se puede demostrar de alguna manera con la ayuda de la inversa del Teorema de Lagrange para grupos abelianos: Si G es abeliano de orden n, y d es un divisor de n, entonces G tiene un subgrupo de orden d.

Mi intento: (=>)Supongamos que G es un grupo abeliano finito y es simple, entonces G no tiene subgrupos normales no triviales. normales no triviales. (Ahora no sé cómo demostrar que esto implica que G tiene orden p, donde p es primo.

(<=)Supongamos que G es un grupo abeliano finito de orden p, donde p es un primo. (Dado que el orden de p es primo, ¿qué significa esto?)

Edición: ¿Puede alguien comprobar mi nuevo intento de prueba?

(=>) Supongamos que G es un grupo abeliano simple finito. Supongamos por contradicción que G no tiene orden primo, entonces |G|=p*k donde p es un número primo y k es un número entero tal que k>1. Entonces G tiene un elemento de orden p. Sea el elemento de orden k un número primo. Entonces G tiene un elemento de orden p. Llamemos x al elemento de orden p. Entonces , el subgrupo generado por x, es de orden p y no es todo G. Como G es abeliano, este subgrupo es normal, lo que nos lleva a una contradicción. Por tanto, G debe tener orden primo.

(<=) Supongamos que G es un grupo abeliano finito y su orden es p, un primo. Como G tiene orden primo, entonces los dos únicos subgrupos de G son el subgrupo trivial y el grupo G. Entonces, por definición el grupo G es simple ya que no hay subgrupos propios no triviales, y por tanto no hay subgrupos normales no triviales.

Answer 1

Edición: ¿Puede alguien comprobar mi nuevo intento de prueba?

(=>) Supongamos que G es un grupo abeliano simple finito. Supongamos por contradicción que G no tiene orden primo, entonces |G|=p*k donde p es un número primo y k es un entero tal que k>1. Entonces G tiene un elemento de orden p. Llamemos x al elemento de orden p. Entonces , el subgrupo generado por x, es de orden p y no es todo G. Como G es abeliano, este subgrupo es normal, lo que nos lleva a una contradicción. Por tanto, G debe tener orden primo.

(<=) Supongamos que G es un grupo abeliano finito y su orden es p, un primo. Como G tiene orden primo, entonces los dos únicos subgrupos de G son el subgrupo trivial y el grupo G. Entonces, por definición el grupo G es simple ya que no hay subgrupos propios no triviales, y por tanto no hay subgrupos normales no triviales.

Answer 2

Si $G$ es un grupo abeliano simple finito, entonces no tiene subgrupos no triviales, ya que todos los subgrupos son normales porque $G$ es abeliano. Esto significa que $G$ es cíclico, generado por cualquier elemento no trivial $g$ . Sea $n$ sea el orden de $G$ . Si $d$ divide $n$ entonces $\langle g^d \rangle$ es un subgrupo de $G$ . Así, $d$ sólo puede ser $1$ o $n$ y así $n$ es primo.

Si $G$ es un grupo finito cuyo orden es primo, entonces $G$ es cíclico, generado por cualquier elemento no trivial. Esto implica que $G$ no tiene subgrupos no triviales.

Answer 3

Sugerencia :

Para $\Rightarrow $ :

Supongamos que el grupo tiene el orden $|G|=pqk$ donde $p,q$ son primos distintos.

Ahora bien, ¿qué dice el teorema de Cauchy para los grupos abelianos finitos?

Para $\Leftarrow $ :

Para que un grupo sea simple, debe tener algún subgrupo no trivial.

El orden de un subgrupo divide el orden del grupo.

Answer 4

Tu prueba parece buena. Aquí hay un enfoque diferente sin usar el teorema de Cauchy.

$(\Longrightarrow)$ Si $G$ es un grupo abeliano simple finito, elija cualquier $g \in G$ no trivial. Entonces $1 \not =<g> \trianglelefteq G$ desde $G$ es abeliano. Dado que $G$ es simple, $G = <g>$ . Es decir, $G$ es cíclico. Dado que $G$ es finito y cíclico, para cada divisor $d$ de $|G|$ , $G$ tiene un único subgrupo cíclico de orden $d$ . $G$ es simple de modo que este subgrupo cíclico es o bien $G$ o 1. Por lo tanto, el divisor $d$ es 1 o $|G|$ . Este espectáculo $|G|$ debe ser primo.

Para divertirte, puedes modificar el problema un poco más.

Sea $G$ sea un grupo abeliano simple, no necesariamente finito. Demostrar que $G$ debe ser finito y de orden primo.

Answer 5

(<=) Let $G$ sea un grupo abeliano de orden primo. Si G tuviera un subgrupo de cualquier orden distinto de $|G|$ o $1$ (digamos q donde $1<q<|G|$ ) concluiríamos que $q$ divide $|G|$ por el Teorema de Lagrange, una contradicción ya que $|G|$ es primo. Los subgrupos de órdenes $|G|$ y $1$ son triviales. Todos los subgrupos de $G$ son triviales, por lo que todos los subgrupos normales son triviales. Por lo tanto $G$ es simple.

(=>) Que $G$ sea un grupo finito, abeliano y simple. Supongamos por contradicción que $|G|$ no es primo. Dado que $|G|$ no es primo, podemos encontrar $1<d<|G|$ tal que $d$ divide $|G|$ . Por la inversa del Teorema de Lagrange descrito en la pregunta, existe un subgrupo de $G$ (llámalo $H$ ) tal que $|H|=d$ . Es evidente que $H$ no es $G$ ni $\left\{e\right\}$ (el grupo formado por la identidad de $G$ ), ya que su orden difiere del orden de estos grupos.

Hemos encontrado un subgrupo no trivial. Para completar la contradicción, tenemos que demostrar que es normal. Encontrar un subgrupo normal no trivial contradiría nuestra suposición de la simplicidad de G.

$H$ es normal ya que $G$ es abeliano. Por definición, todos los elementos de $G$ conmutan bajo su operación binaria. Fijando $g$ en $G$ encontramos que: $$\left\{hg : h\in H\right\}=\left\{gh : h\in H\right\}$$ Esto es así porque $g$ y $h$ conmutan en G para cualquier h en H. Encontramos que: $$gH=Hg; \forall g\in G$$ Por lo tanto, por definición, $H$ es normal. Esto da lugar a una contradicción como la descrita anteriormente.

Concluimos que $|G|$ es primo. //