Para un mapa diferenciable$\Phi$ entre variedades$M$ y$W$, lo que es$d\Phi?$ (Aubin)

Question

No puedo entender un pasaje de Un Curso de Geometría Diferencial por T. Aubin. En primer lugar, no hay Definición 2.6., que he publicado en esta pregunta. Y ahora hay esto:

$(\Phi_*)_P$ no es nada más que $(d\Phi)_P.$

($\Phi:M_n\to W_p$donde $M_n$ $W_p$ son colectores de dimensiones $n$ $p$ respectivamente. $P\in M_n.$)

No entiendo lo que esta frase significa. No puedo encontrar una definición de $(d\Phi)_P$ anteriormente en el libro. No hay una definición para el caso de $\Phi$ un mapa abierto entre los subconjuntos de Euclídea los espacios, pero no para el general de los colectores. Entonces, ¿cómo podemos establecer que los dos objetos son iguales si no hemos definido a uno de ellos? El autor lo explica así:

En efecto, considere la posibilidad de un local gráfico en $P$ con coordenadas $\{x^i\}$ y un local gráfico en $Q$ con coordenadas $\{y^a\}$. $\Phi$ está definida en una vecindad de a $P$ $p$ real de las funciones con valores de $\Phi^a(x^1,x^2,\cdots,x^n),\;a=1,2,\cdots,p.$

No lo entiendo. ¿Cuáles son las $\Phi^a?$ Si son de un valor real, a continuación, $(\Phi^1,\cdots,\Phi^p)$ no puede ser igual a $\Phi$ porque $\Phi$$M_n$$W_p$, no $\Bbb R^p$. Para llegar a $\Bbb R^p$, tengo que componer $\Phi$ con un gráfico. Y no están las coordenadas $x^i$ real también? Yo entiendo que cuando tengo un gráfico de $(\Omega,\varphi)$ para un conjunto abierto $\Omega\subseteq M_n$$\varphi:\Omega\to\Bbb R^n,$, entonces las coordenadas $x^i$ de un punto de $m\in M_n$ son las coordenadas de $\varphi(m)$$\Bbb R^n$. Así que eso significaría que $\Phi^a$ son en realidad funciones de$\Bbb R^n\supseteq\Omega$$\Bbb R$. Y, probablemente, $(\Phi^1,\cdots,\Phi^p)=\psi\circ\Phi\circ\varphi^{-1}$ para algunos de los gráficos de $\phi$$\psi$. Es eso correcto? Si es así, no es la notación muy contradictorio?

El autor dice lo siguiente. Yo no lo entiendo en absoluto. Él utiliza el símbolo $(d\Phi)_P$ más, y creo que todavía no ha sido definida.

Usando intrínsecas notaciones para simplificar, obtenemos $$X(f\circ\Phi)=d(f\circ\Phi)_P\circ X=(df)\circ(d\Phi)_P\circ X=(df)\circ(\Phi_*)_PX.$$ Indeed, $\{X^i\}$ being the components of $X$ in the basis $\{(\partial/\partial x^i)_P\},$ the components of $Y=(\Phi_*)_PX$ are $$Y^a=\sum_{i=1}^n \frac{\partial\Phi^a}{\partial x^i}$$ in the basis $\{\parcial/\partial y^a)_Q\}.$ When we use intrinsic notation, we do not specify the local charts. In the coordinate systems $\{x^i\}$ and $\{y^a\}$, the equality above shows that $d\Phi)_P=((\partial\Phi^a/\partial x^i))_P=(\Phi_*)_P.$

No entiendo lo que el valor intrínseco de notaciones. Yo no puedo ver cómo la notación es intrínseco si utilizamos las coordenadas $x^i$ $y^a$ que son reales.

Answer 1

Voy a intentar responder a lo que parecen ser las preguntas en algún tipo de orden sistemático. No tengo una copia de Aubin del texto (y se intenta utilizar la notación presentada en el post original), pero creo que las preguntas son relativamente claras y pueden ser abordados a pesar de ello.

• $ \left(\Phi_{*}\right)_{P}$ no es otra cosa que $\left(d\Phi\right)_{P}$:

Sin ver el libro de texto, me imagino que Aubin está tratando de decir que el empuje hacia delante de $\Phi$ $P \in M$ ( $\left(\Phi_{*}\right)_{P})$ ) es el mismo que el diferencial de $\Phi$ $P$ ( $\left(d\Phi\right)_{P}$ ), o incluso que $\left(\Phi_{*}\right)_{P}$ es el mismo en el espíritu como $\left(d\Phi\right)_{P}$ en el caso de que $\Phi$ es un mapa diferenciable entre Euclidiana espacios. El asunto de la elección de coordenadas acerca de $P \in M$ $\Phi(P) = Q \in W$ es la intención de clarificar este asunto.

La elección de coordinar los gráficos de $(U, \varphi = (x^{1}, \ldots x^{n})$$(V, \psi = (y^{1}, \ldots , y^{p})$$P$$Q = \Phi(P)$, respectivamente, permite hacer exactamente lo que usted está sugiriendo: formulario de la coordenada representante de $\Phi$. En los sistemas de coordenadas, las coordenadas del representante de $\Phi$ es precisamente $$\psi \circ \Phi \circ \phi^{-1} : \phi(U) \subseteq \mathbb{R}^{n} \to \psi(V) \subseteq \mathbb{R}^{p}.$$

Persiguiendo todo los mapas apropiados muestra que la $\Phi^{a} = y^{a} \circ \Phi\circ \varphi^{-1} : x(U) \to \mathbb{R}$, $a = 1..p$, son reales las funciones con valores que dan a la de coordinar las funciones del mapa $\Phi$ w.r.t. el elegido de sistema de coordenadas.

Así, `Y, probablemente, $(\Phi^{1},⋯,\Phi^{p})$=ψ∘F∘φ−1 para algunos gráficos φ y ψ. Es eso correcto?" Sí.

• `No entiendo por qué el valor intrínseco de notaciones.":

Usted tiene una cierta comprensión de este, como el valor intrínseco de las notaciones son precisamente las notaciones que no dependen de las coordenadas de los gráficos. Así, la línea

$$ X(f\circ\Phi)=d(f\circ\Phi)_P\circ X=(df)\circ(d\Phi)_P\circ X=(df)\circ(\Phi_*)_PX, $$

se entrega totalmente en intrínseca de la notación suponiendo que se acepte la notación $(\Phi_{*})_{P} = (d\Phi)_{P}.$ Nota de que la línea está tratando de decirnos cómo un campo de vectores $X$ $M$ empuja hacia adelante a un campo de vectores en $W$ ser la definición de cómo el empuje hacia delante de $X$ actúa sobre las funciones con valores reales definida en $W$.

Ahora, cuando uno pasa a la elegida sistemas de coordenadas y uno analiza $(\Phi_{*})_{P} X$, que ahora es un campo de vectores en $W$, luego la identificación de $(\Phi_{*})_{P} = (d\Phi)_{P}$ queda claro: la Expansión de $(\Phi_{*})_{P}X$ como un campo vectorial en coordenadas bases de $\left\{ \frac{\partial}{\partial y^{a}}\right\}$ muestra que los componentes de $(\Phi_{*})_{P}X$ $Y^{a} = X^{i}\frac{\partial \Phi^a}{\partial x^{i}}$ (parece que Hay un error en lo que han escrito más arriba). Tomando $X$ a ser el de coordinar las bases de campos vectoriales sí mismos, entonces, debe quedar claro que el lineal mapa de $(\Phi_{*})_{P} : T_{P}M \to T_{Q}W$ se describe en la opción de coordenadas de la matriz $\left( \frac{\partial\Phi^{a}}{\partial x^{j}}\right)$, $a = 1..p$, $j = 1 . . n$.

El punto que creo que Aubin está tratando de hacer es que esta matriz para $(\Phi_{*})_{P}$ en la opción de coordenadas es el mismo que el de la matriz $(d\Phi)_{P}$ para el mapa de $\psi \circ \Phi \circ \varphi^{-1} : \varphi(U) \subset \mathbb{R}^{n} \to \psi(V) \subseteq \mathbb{R}^{p}$, la de coordinar representante de $\Phi$ como un mapa entre Euclidiana espacios.