Extensiones de Kummer

Question

Quiero probar lo siguiente:

Si $F$ contiene todos los $n$-raíces de la unidad y de la $\operatorname{char}F$ no divide $n$ $K:=F(\sqrt[n]{a_1},\sqrt[n]{a_2},\ldots,\sqrt[n]{a_m})/F$ es un Galois abelian extensión.

Sugerencia: Probar que $G:=Gal(K/F)\cong \left<a_1 F^{\times n},\ldots,a_m F^{\times n}\right>\leq F^\times/ F^{\times n}$ donde $F^{\times n}=\{x^n: x\in F^\times\}$.

Intento:

Me muestran que la $K/F$ es de galois, $F^{\times n}$ subgrupo, pero he intentado (y no puedo) para demostrar sugerencia para $m=1$ teniendo en cuenta el mapa $\psi\colon \left<a F^{\times n}\right>\to G=F(\sqrt[n]{a})/F$ $a^kF^{\times n}\to\sigma_k$ donde $\sigma_k$ está definido por $\sigma_k(\sqrt[n]{a})=\zeta_n^{mk}\sqrt[n]{a}$ donde $m$ es el orden de $aF^{\times n}$. He demostrado que los $\psi$ es un homomorphism pero no sé cómo probar que tal se $\sigma_k$ es un elemento de $G$, he intentado utilizar los teoremas fundamentales de la radical extensiones. Estoy casi seguro de que ese mapa es el deseado isomorfismo ya que he probado con un montón de ejemplos.

Answer 1

Definición. Deje $L$ ser un campo y dejar a $\alpha$ ser un elemento de un campo se extiende $L$. El radical grado de $\alpha$ $L$ es el más pequeño de $p\geq 1$ tal que $\alpha^p\in L$ (o $+\infty$ si no hay tal $p$ existe).

Entonces tenemos:

Lema. Si el radical grado $d$ $\alpha$ es finito y no divisible por la característica de $L$, y si $L$ contiene todos los $d$-raíces de la unidad, entonces el polinomio mínimo de $\alpha$ $L$ es exactamente $X^d-{\alpha}^d$. En particular, la radical grado coincide con la habitual maestría.

La prueba del lema. El polinomio mínimo $M$ de $\alpha$ $L$ divide $X^d-{\alpha}^d$, por lo que es de la forma $M=\displaystyle\prod_{k\in I}(X-\zeta^k\alpha)$ donde $\zeta$ es una primitiva $d$-ésima raíz de la unidad y de la $I$ es un subconjunto de $\lbrace 1,2, \ldots ,d \rbrace$. Expansión, vemos que

$$M=X^{|I|}+\sum_{j=0}^{|I|-1}Q_k(\zeta)\alpha^{|I|j}X^j$$

donde el $Q_k$ son polinomios con coeficientes enteros. Ahora el coeficiente de $Q_k(\zeta)\alpha^{|I|-j}$ $L$ sólo si es cero o si $|I|-j=d$. Hay al menos uno distinto de cero el coeficiente de además el líder, y esto sólo puede suceder cuando $|I|=d$$j=0$, lo que concluye la prueba.

Tenga en cuenta que $\lbrace p\in {\mathbb Z} \mid \alpha^p \in L\rbrace$ es un subgrupo de $\mathbb Z$, por lo que sólo puede ser $d{\mathbb Z}$. De ello se sigue que :

Corolario. El lema aún se mantiene si la hipótesis en $\alpha$ está debilitado a $\alpha^n\in L$ algunos $n>0$ no es un múltiplo de la característica de $L$.

Ahora podemos repetir el corolario: si denotamos por a $d_k (1\leq k\leq m)$ el radical grado de $a_k^{\frac{1}{n}}$$F_k=F(a_1^{\frac{1}{n}}, \ldots ,a_{k-1}^{\frac{1}{n}})$, luego, por el corolario $d_k$ es, de hecho, el grado de $a_k^{\frac{1}{n}}$$F_k$.

Tenemos $[K:F]=[F_{m+1}:F_1]=\displaystyle\prod_{j=1}^{m}[F_{j+1}:F_j]=d_1d_2\ldots d_m$. Así que el grupo de Galois $G={\sf Gal}(K/F)$ contiene exactamente $d_1d_2\ldots d_m$ elementos. Vamos $H=\frac{\mathbb Z}{d_1\mathbb Z} \times \ldots \times \frac{\mathbb Z}{d_m\mathbb Z}$, and let $\zeta$ is a fixed primitive $n$-th root of unity. Let $h=(h_1,h_2,\ldots ,h_m)\in H$.

El polinomio mínimo de a $\alpha_1$ $F_0=F$ es exactamente $X^{d_1}-\alpha_1^{d_1}$, por lo que no hay una única $i_1\in {\sf Gal}(F_1/F)$ satisfacción $i_1(\alpha_1)=\zeta^{\frac{nh_1}{d_1}}\alpha_1$.

El polinomio mínimo de a $\alpha_2$ $F_1$ es exactamente $X^{d_2}-\alpha_2^{d_2}$, por lo que no hay una única $i_2\in {\sf Gal}(F_2/F)$ extender $i_1$ y de satisfacciones $i_2(\alpha_2)=\zeta^{\frac{nh_2}{d_2}}\alpha_2$.

Iterando este proceso, vemos finalmente que no hay un único $\sigma\in {\sf Gal}(F_k/F)$ tal que $\sigma(\alpha_k)=\zeta^{\frac{nh_k}{d_k}}\alpha_k$ por cada $k$ entre $1$ $m$ . Esto define un inyectiva mapa de $H \to G$. Será bijective debido a $|G|=|H|=d_1d_2\ldots d_m$, y es muy fácil comprobar que se trata de un homomorphism.

Así que ahora queda a la construcción de un isomorfismo entre el $H$ y $W=\langle a_1F^{\times n},a_2F^{\times n},\ldots ,a_mF^{\times m}\rangle$. Es fácil comprobar que el mapa $$H \W, \ (i_1,i_2,\ldots, i_m) \mapsto \langle a_1^{i_1}a_2^{i_2} \ldots a_m^{i_m}\rangle$$

está bien definido y hace el trabajo.