Si los gráficos "toque", entonces las tangentes son paralelas. Así que usted quiere
$$(2^x - a)' = (\log_2 x)'$$
Esto lleva a
$$(\ln 2)2^x = \frac{1}{(\ln 2)x}$$
o $x2^x = (\ln 2)^{-2}$.
Desde $y= x2^x$ es estrictamente creciente en a $(0,\infty)$ (la derivada es $2^x(1+x\ln 2)$), ha $\lim\limits_{x\to 0^+}x2^x = 0$$\lim\limits_{x\to \infty}x2^x = \infty$, existe uno y sólo un valor de $x$ donde la igualdad se mantiene.
Por ejemplo, hay uno y sólo un valor de $x$ donde las tangentes de $y=2^x-a$ $y = \log_2 x$ son paralelas. Recogiendo $a$ a igual al valor de $\log_2(x)$ en el punto de $x$ en que este tiene, que es la única solución a $x2^x = (\ln 2)^{-2}$, da la única solución.
La solución a $x2^x = (\ln 2)^{-2}$ puede ser "obtenido" por el uso de los Lambert $W$ función.
Desde
$x2^x = xe^{x\ln 2}$, podemos reescribir la ecuación como $(x\ln 2)e^{x\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}$. Desde $W(1/\ln 2)$ es el valor de $k$ tal que $ke^k = \ln 2$, llegamos a la conclusión de que $x = \frac{1}{\ln 2}W\left(\frac{1}{\ln 2}\right)$ es donde:$x2^x = (\ln 2)^{-2}$.
Así que este es el valor de $x$ a que $y = 2^x - a$ (para cualquier $a$) y $y=\log_2(x)$ paralelas tangentes. Queremos recoger $a$, de modo que las dos funciones tienen el mismo valor, así que queremos que $2^x - a = \log_2(x)$; que es
$$a = 2^{\frac{1}{\ln 2}W(\frac{1}{\ln 2})} - \log_2\left(\frac{1}{\ln 2}W\left(\frac{1}{\ln 2}\right)\right) = 2^{\frac{W(1/\ln 2)}{\ln 2}} - \log_2W\left(\frac{1}{\ln 2}\right) + \log_2(\ln 2).$$
Los valores de $a$ $x$
$$\begin{align*}
a&\approx 1.9993335366784208872185237594934841819876651500164506943525\ldots\\\
x&\approx 1.0237165016039817739129111076311195719147116014095574420368\ldots.
\end{align*}$$
