De Fourier del producto complicado: $(1+x)^2 e^{-x^2/2}$

Question

ACTUALIZACIÓN: El problema se reduce a esto para mí:

Me encontré con un problema con un cambio de variable en la integral:

He a $\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(x+\frac{iy}{2})^{2}}dx$.

Tengo que hacer el cambio de variable $u = \frac{x + \frac{iy}{2}}{\sqrt{2}}du$.

Esto cambia la integral de a $\sqrt{2}\int\limits_{*}^{*}e^{-u^{2}}du$. Si mis límites son los mismos que mi viejo límites, entonces estoy hecho desde la integral es conocido por ser $\sqrt{\pi}$. Pero ya que he hecho una traducción más complejos yo no estoy tan seguro. Puedo decir que $\infty + i = \infty$ ?

Problema Original: Necesito encontrar la transformada de Fourier de $g(x) = (x+1)^2e^{-x^2/2}$.

Este es definido por:

$$\widehat{g}(y) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}g(x)\,e^{-ixy}\,dx.$$

Esto funciona como:

$$ \begin{eqnarray*} \widehat{g}(y) &=& \int\limits_{-\infty}^{\infty}(x+1)^2\,e^{-x^2/2}\,e^{-iyx}\,dx\\ &=& \int\limits_{-\infty}^{\infty}(x+1)^2e^{-x^2/2 - ixy}\,dx. \end{eqnarray*}$$

Pero no sé cómo evaluar esta. Está utilizando el software apropiado para algo como esto?

Answer 1

Si entiendo los comentarios correctamente, el problema parece ser para encontrar la transformada de Fourier de $$\color{blue}{f(x) = e^{-x^2/2}}.$$ Usted puede hacer esto por completar las plazas y de sustitución, como se indica en los comentarios, pero yo prefiero este argumento:

Vamos a calcular formalmente en primer lugar, el aplazamiento de la justificación del intercambio de la diferenciación y la integración en $(!!)$ hasta el final de la respuesta: $$ \begin{align*} \frac{d}{dk} \widehat{f}(k) &= \frac{d}{dk} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}e^{-ikx}\,dx \\ &\!\color{red}{\stackrel{(!!)}{=}} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\, (-ix)\, e^{-ikx}\,dx \tag{!!} \\ &= \int_{-\infty}^\infty i \left( \frac{d}{dx}e^{-x^2/2} \right) \, e^{-ikx}\, dx \\ &= -\int_{-\infty}^\infty i e^{-x^2/2}(-ik)e^{-ikx}\,dx && \text{(integration by parts)}\\ &= -k \,\hat{\!f}(k). \end{align*} $$ Esto nos da la ecuación diferencial ordinaria $\hat{\!f}'(k) = -k \,\hat{f}(k)$ con la condición inicial $$ \hat{\!f}(0) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}, $$ lo que muestra que $$\color{blue}{\hat{f}(k) = \sqrt{2\pi}\,e^{-k^2/2}}.$$

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En orden para que usted sea capaz de controlar su propio trabajo, aquí está mi solución del ejercicio (N. S. sugirió un enfoque ligeramente diferente, pero tampoco es de los más simples o más eficiente, bajan a la misma):

Tenemos $f'(x) = -x\,f(x)$$f''(x) = (x^2-1)f(x)$, de modo que $$g(x) = (x+1)^2 f(x) = f''(x) -2f'(x) + 2f(x),$$ por lo tanto $$ \begin{align*} \hat{g}(k) &= \widehat{f''}(k) - 2\widehat{f'}(k) + 2\widehat{f}(k) \\ &= (-k^2+2ik+2) \hat{f}(k) \end{align*} $$ lo que nos da $$\color{red}{\hat{g}(k) = \sqrt{2\pi}\,(-k^2+2ik+2)\,e^{-k^2/2}},$$ donde se puede escribir $-k^2+2ik+2 = 1+(1+ik)^2$ si usted lo prefiere.

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Queda por justificar $(!!)$: Calcular $$ \begin{align*} \frac{d}{dk}\hat{\!f}(k) & = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \left(\hat{\!f}(k+h)-\hat{\!f}(k)\right) \\ &= \lim_{h\to0} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \frac{e^{-ikx}}{h}\underbrace{\left(e^{-ihx}-1\right)}_{\large 2i e^{ihx/2}\sin{\frac{hx}{2}}}\,dx. \end{align*} $$ Usando ese $|\sin{\frac{hx}{2}}| \leq \dfrac{|hx|}{2}$ vemos que el valor absoluto de el integrando es acotada arriba por $|x|e^{-x^2/2}$, lo que claramente es integrable, por lo tanto, concluimos por el teorema de convergencia dominada.