Refutar la independencia del vector de Gaussianas por la independencia de los marginales

Question

Si tenemos tres variables aleatorias $X,Y,Z$, entonces si $X$ y $Z$ son independientes y $Y$ y $Z$ son independientes, no siga ese % es independiente del vector $Z$ $(X,Y)$.

Hay un ejemplo de simple contador para esto. Pero no puedo encontrar un ejemplo contrario en el caso donde los tres son normales, es decir $X,Y,Z$ son las variables Gaussian y gaussiano multivariante no.

Agradeceria cualquier ayuda.

Answer 1

Ejemplo: Que $X$ y $Z$ ser iid variables estándar de Gauss (media cero). Y $$ Y = \left\ {\begin{array}{ll} X & \mbox{if } |Z| \leq 1 \\ -X & \mbox{elsewhere} \end{matriz} \right. $$

$Y$ Es marginalmente gaussiano e independiente del $Z$: $P(Z|Y) = P(Z)$ $P(Z|X)=P(Z)$. Sin embargo, $P(Z|X Y) \ne P(Z)$, porque saber $X$ y $Y$ sabemos si $|Z|<1$ o no.

Answer 2

Si entiendo su derecho de pregunta, están asumiendo que la distribución conjunta de $X,Y,Z$ es gaussiana y la matriz de covarianza $$ C_ {XYZ} =\begin{bmatrix} c_{XX} & c_{XY} & 0\\ c_{XY} & c_{YY} & 0\\ 0 & 0 & c_{ZZ} \end{bmatrix} \. $$ puede ser fácilmente demostrado que asimiento de $ $$ N([X\ Y\ Z]^T, C_{XYZ}) = N([X\ Y]^T,C_{XY})\, N(z, c_{zz}) $, $N(xx,C)$ Dónde está la distribución Normal de los % de vector $xx$con % matriz de covarianza $C$. Así que para las variables Gaussianas aleatorias escalares los resultados de los marginales de independencia en la independencia de las variables. Esto es por supuesto no para no Gaussianas.