¿Cuántas permutaciones de un cubo de Rubik, con tres caras fijas (adyacentes)?

Question

Supongamos que tengo un Rubik, pero sólo puedo girar las caras superior, izquierda y frontal. ¿Cuántas configuraciones hay en este cubo?

En un cubo normal, las fichas de la "cara" (es decir, del centro) son siempre fijas. En mi cubo particular, además, tres aristas y una esquina son fijas (es decir, la esquina opuesta a las caras móviles y sus tres aristas adyacentes).

En un cubo regular, sabemos que

1. Puedo alcanzar todas las permutaciones de las 8 esquinas.
2. Puedo girar independientemente 7 de las esquinas.
3. Puedo alcanzar todas las permutaciones PARES de las 12 aristas.
4. Puedo girar independientemente 11 de los bordes.

Así, para un cubo normal el número de permutaciones que mantienen fijas una esquina determinada y sus aristas adyacentes es:

$$ N_1 = 7! \times 3^6 \times \frac{9!}{2} \times 2^8 $$

Creo que la situación de nuestro cubo especial es similar. Con el número limitado de movimientos, tengo cuatro hipótesis:

1. Puedo alcanzar todas las permutaciones de las 7 esquinas móviles.
2. Puedo girar independientemente 6 de las esquinas móviles.
3. Puedo alcanzar todas las permutaciones PARES de las 9 aristas móviles.
4. Puedo girar independientemente 8 de los bordes móviles.

Si las hipótesis son correctas, el número de permutaciones para mi cubo especial también lo es:

$$ N_2 = 7! \times 3^6 \times \frac{9!}{2} \times 2^8 $$

Pero no estoy seguro. Los dos casos no son trivialmente equivalentes, y no puedo demostrar que con los movimientos limitados, sigo teniendo toda la libertad que quiero.

Entonces, ¿cuántas permutaciones puedo obtener?

Answer 1

Una forma de obtener la respuesta sin pensar es preguntar a GAP, adaptando el ejemplo del manual ( https://www.gap-system.org/Doc/Examples/rubik.html ):

gap> cubeULF := Group(
> ( 1, 3, 8, 6)( 2, 5, 7, 4)( 9,33,25,17)(10,34,26,18)(11,35,27,19),
> ( 9,11,16,14)(10,13,15,12)( 1,17,41,40)( 4,20,44,37)( 6,22,46,35),
> (17,19,24,22)(18,21,23,20)( 6,25,43,16)( 7,28,42,13)( 8,30,41,11) );
<permutation group with 3 generators>

gap> Size(cubeULF);
170659735142400

gap> Collected( Factors( last ) );
[ [ 2, 18 ], [ 3, 12 ], [ 5, 2 ], [ 7, 2 ] ]

Por tanto, el número de elementos del subgrupo generado por los movimientos U, L y F es $$ 2^{18} 3^{12} 5^2 7^2 = 170659735142400 , $$ que coincide con su número propuesto $N_2$ .