Probando $\sum\limits_{r=1}^n \cot \frac{r\pi}{n+1}=0$ utilizando números complejos

Question

Dejemos que $x_1,x_2,...,x_n$ sean las raíces de la ecuación $x^n+x^{n-1}+...+x+1=0$ .

La cuestión es calcular la expresión $$\frac{1}{x_1-1} + \frac{1}{x_2-1}+...+\frac{1}{x_n-1}$$ Por lo tanto, para demostrar que $$\sum_{r=1}^n \cot \frac{r\pi}{n+1}=0$$

He intentado reescribir la expresión como $$\sum_{i=1}^n \frac{\bar{x_i}-1}{|x_i-1|^2}$$

Entonces utilicé el hecho de que $$x^{n+1}-1=(x-1)(x^n+x^{n-1}+...+x+1=0$$ así que $x_i$ son las raíces complejas enésimas de la unidad.Usando la fórmula del coseno encontré que $$|x_i-1|^2=2-2\cos(\frac{2i\pi}{n+1})=4(\sin \frac{\pi}{n+1})^2$$

Después de sustituir esto no he podido simplificar la expresión resultante.

Answer 1

Para la primera parte :

Escribe $$x^n+x^{n-1}+...+x+1 =(x-x_1)(x-x_2)\ldots (x-x_{n})$$

Toma el registro de ambos lados

$$\log (x^n+x^{n-1}+...+x+1)= \log(x-x_1) +\log(x-x_2)+\ldots +\log(x-x_n)$$ Diferenciación con respecto a la $x$ obtenemos

$$\frac{ nx^{n-1}+(n-1)x^{n-2}+\ldots+ 1}{x^n+x^{n-1}+...+x+1}= \frac{1}{x-x_1}+\frac{1}{x-x_2}+\ldots +\frac{1}{x-x_n}$$

Ahora pon $x=1$

$$\frac{(n)+(n-1)+\ldots + 1}{1+1+\ldots +1}=-\left(\frac{1}{x_1-1} + \frac{1}{x_2-1}+...+\frac{1}{x_n-1}\right)$$

$$\color{red}{\boxed{ \frac{1}{x_1-1} + \frac{1}{x_2-1}+...+\frac{1}{x_n-1}=- \frac{n}{2} }}$$

Answer 2

@Jaideep Khare ya dio una buena respuesta a la primera pregunta, es decir, demostró que, $$\frac{1}{x_1-1} + \frac{1}{x_2-1}+...+\frac{1}{x_n-1}=- \frac{n}{2}$$ donde $x_i$ 's satisfacer $$\color{red}{\frac{x^{n+1}-1}{x-1}= }x^n+x^{n-1}+...+x+1=0$$

Es fácil comprobarlo, $\color{blue}{x_k = e^{\frac{2r\pi}{n+1}}}$ con $0\le k\le n $ es fácil de ver, $x_k$ son las raíces de la ecuación $$\color{red}{\frac{x^{n+1}-1}{x-1} } =x^n+x^{n-1}+...+x+1=0$$

Ahora lo estoy usando: $\sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ y $\cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} $ uno puede comprobarlo,

$$\cot x =i\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}= i +i \frac{2}{e^{2ix}-1}$$ así,

$$\color{blue}{\sum_{r=1}^n \cot \frac{r\pi}{n+1} = ni+ 2i\sum_{r=1}^n \frac{1}{\displaystyle{e^{\frac{2r\pi}{n+1}}}-1} = ni+ 2i\sum_{r=1}^n \frac{1}{x_r-1} =0}$$

Answer 3

Hagámoslo sin trucos utilizando resultados estándar de la teoría habitual de las ecuaciones polinómicas. Si $\alpha$ es una raíz de $f(x) =0$ entonces $\beta=\alpha-1$ es una raíz de $f(x+1)=0$ . Por lo tanto, se deduce que $y_{i} =(x_{i} - 1)$ son las raíces de la ecuación $$(y+1)^{n}+(y+1)^{n-1}+\dots+(y+1)+1=0$$ es decir, $$y^{n} +(n+1)y^{n-1}+\dots+(1+2+\cdots+n)y+ (n+1)=0$$ es decir, $$y^{n} +(n+1)y^{n-1}+\dots+\frac{n(n+1)}{2}y+(n+1)=0$$ Tenga en cuenta además que si $\alpha$ es una raíz de $f(x) =0$ entonces $\gamma=1/\alpha$ es una raíz de $x^{n} f(1/x)=0$ . Y por lo tanto $z_{i} =1/y_{i}=1/(x_{i}-1)$ son las raíces de $$(n+1)z^{n}+\frac{n(n+1)}{2}z^{n+1}+\dots+(n+1)z+1=0$$ y por tanto la suma de sus raíces es $$-\frac{n(n+1)/2}{n+1}=-\frac{n}{2}$$ lo que responde a su primera pregunta.

La respuesta a tu segunda pregunta se basa en que la ecuación dada puede escribirse como $$\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=0$$ y las raíces de la ecuación $x^{n+1}-1=0$ se dan como $$\cos\left(\frac{2k\pi} {n+1} \right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{n+1}\right), \, k=0,1,2,\dots,n$$ La raíz $x=1$ corresponde a $k=0$ y por lo tanto las raíces $x_{k} $ de la ecuación original vienen dadas por $$x_{k} =\cos\left(\frac{2k\pi}{n+1}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{n+1}\right), \, k=1,2,\dots,n$$ Además tenemos $$\frac{1}{x_{k}-1}=-i\cdot\frac{1}{2}\cot\left(\frac{k\pi}{n+1}\right)-\frac{1}{2} $$ Como la suma de estas raíces es $-n/2$ se deduce que $$\sum_{k=1}^{n}\cot\left(\frac{k\pi}{n+1}\right)=0$$

Answer 4

Claramente, $x_k\ne1,1\le k\le n$

Dejemos que $y_k=\dfrac1{x_k-1}\ne0,1\le k\le n$

$\implies x_k=\dfrac{1+y_k}{y_k}$

Ahora $\displaystyle0=\sum_{r=0}^nx_k^r=\dfrac{x^{n+1}_k-1}{x_k-1}$

Como $x_k-1$ es finito no nulo, $$x^{n+1}_k-1=0$$

$$\implies\left(\dfrac{1+y_k}{y_k}\right)^{n+1}=1$$

$$\binom{n+1}1y_k^n+\binom{n+1}2y_k^{n-1}+\cdots+1=0$$

$$\sum_{r=1}^ny_k=-\dfrac{\binom{n+1}2}{\binom{n+1}1}=?$$

Ahora como $x_k=e^{2k\pi i/(n+1)},1\le k\le n$

$$y_k=\dfrac1{e^{2k\pi i/(n+1)}-1}=\dfrac{e^{-k\pi i/(n+1)}}{e^{k\pi i/(n+1)}-e^{-k\pi i/(n+1)}}$$

$$=\dfrac{\cos\dfrac{k\pi}{n+1}-i\sin\dfrac{k\pi}{n+1}}{2i\sin\dfrac{k\pi}{n+1}}=?$$

Usado: Cómo demostrar la fórmula de Euler: $e^{it}=\cos t +i\sin t$ ?

$\implies e^{-it}=\cos t-i\sin t$