Si es homeomorfa a un toro $S$$\Rightarrow$$S$tiene un campo vectorial diferenciable sin puntos singulares

Question

Estoy estudiando la geometría diferencial utilizando doCarmo del libro, y en el capítulo acerca de Gauss-Bonnet del teorema, me quedé atrapado en el siguiente ejercicio:

Deje $S \subset \mathbb{R}^3$ ser una superficie homeomórficos al toro $\Rightarrow$ $S$ tiene un campo vectorial diferenciable sin singular puntos.

---

Sé que si $\xi:S \rightarrow TS$ es un campo diferenciable con sólo finito de puntos singulares (sé que siempre puedo construir este campo)

$$0= \sum_{\{x \in S;\xi(x) = 0\}} I_x = \chi (S) $$

donde $I_x$ es el índice de $\xi$ en el punto de $x$, e $\chi(S)$ es la característica de Euler de la superficie de la $S$. Pero no sé cómo usar esta información para crear un diferencial de campo vectorial sin puntos singulares.

Answer 1

El toro es $\mathbb{T}^2 = \mathbb{S^1}\times \mathbb{S}^1$. Deje $X\in \mathcal{T}(\mathbb{S^1})$ ser nunca de fuga campo vectorial (es muy simple de construir uno con la incrustación $\mathbb{S^1}\subset \mathbb{C})$. a continuación, $X\times X\in \mathcal{T}(\mathbb{S^1}\times \mathbb{S^1} )$ no es una fuga campo de vectores en el toro.

Si usted tiene otra superficie lisa $S$ que hay un diffeo $\psi:\mathbb{T}^2\to S$, a continuación, empujando hacia adelante la no desaparición de campo vectorial que usted obtenga $\psi_*(X\times X)$ que es un nunca de fuga campo de vectores en $S$.

Si $S$ es un buen cerrado 2-colector, que es homeomórficos a$\mathbb{T}^2$, $\chi(S)=\chi(\mathbb{T}^2)$ (ya que la característica de Euler es un invariante topológico), por lo tanto, gracias a la clasificación teorema para las superficies lisas $S$ es también diffeomorphic al toro, y el argumento anterior se aplica.

La de Poincaré-Hopf teorema (y por tanto el de Gauss-Bonnet teorema) a priori da una necesaria condición para tener una nunca fuga vector de campo ($\chi(M^2) = 0$) que a posteriori, gracias a la clasificación teorema de superficies es también suficiente. Pero primero tienen que demostrar que la superficie con la característica de Euler $0$ tiene una nunca fuga de campo vectorial.