Asignación a único más cercano punto de

Question

En mi clase, se demostró que si $B$ es cerrado en $\mathbb{R}$ $A\subseteq\mathbb{R}$ y cada una de las $x\in A$ tiene el único punto más cercano a$f\left(x\right)$$B$, $x\mapsto f\left(x\right)$ es continua.

Mi profesor me preguntó si podíamos encontrar un espacio métrico arbitrario $X$ (no necesariamente con $X=\mathbb{R}$) donde $A$ $B$ ($B$ no necesariamente tenga que ser cerrado ahora, este mismo y único punto más cercano de la propiedad, sino $f$ ya no es continuo.

He estado pensando en ello durante un par de días, pero no he venido para arriba con algunos ejemplos. Si alguien pudiera poner un ejemplo, me sería de gran aprecio.

Answer 1

Notación: Para evitar la confusión entre los intervalos y los pares ordenados, $\langle a,b\rangle$ es un par ordenado.

Con la métrica usual en $\Bbb R^2,$ deje $A=[0,1]\times \{0\}$ $B= ([0,1)\times \{1\})\cup \{\langle 2,0\rangle \}. $ Deje $X=A\cup B.$

Si $0\leq t<1$ $f(\langle t,0\rangle)=\langle t,1\rangle.$

Pero $f(\langle 1,0\rangle)=\langle 2,0 \rangle.$

Por lo $f(x)$ es discontinua en a $x=\langle 1,0 \rangle.$ (Véase la nota de pie de página). Tenga en cuenta que $A$ $B$ están cerrados en $X$.

La parte difícil de la construcción de un ejemplo es que en cualquier espacio métrico $(X,d),$ si $X\supset B\ne \phi$ $g(x)=\inf \{d(x,y):y\in B\}$ $g:X\to \Bbb R$ $is$ continua.

Nota a pie de página. La secuencia de $(\;f(\langle 1-1/n,0 \rangle)\;)_{n\in \Bbb N}$ no converge a $f(\langle 1,0\rangle).$

Answer 2

Esto es para dar una respuesta con un ejemplo en los comentarios.

Que $X=\mathbb{R}^{2}$ con la métrica euclidiana estándar y $A=\left\{\left(x,0\right):x\in\mathbb{R}\right\}$ y $B=\left\{\left(x,1\right):x\ge0\right\}\cup\left\{\left(x,-1\right):x<0\right\}$. Si $x\ge0$, entonces el punto más cercano sólo en $\mathbb{R}^{2}$ obviamente es $\left(x,1\right)$. Si $x<0$, entonces el punto más cercano sólo es obviamente $\left(x,-1\right)$. Tome la secuencia $x_{n}=-\frac{1}{n}$. Esto obviamente converge a $0$ y $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(f\left(x_{n}\right)\right)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(f\left(-\frac{1}{n}\right)\right)$$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\left(-\frac{1}{n},-1\right)\right)=\left(0,-1\right)\ne f\left(0\right)=\left(0,1\right).$ $f$ $ así es discontinua en $x=0$.

Answer 3

$A = \{1\}\times\mathbb{R};\ B = \{0\}\times\bigl([-1,0) \cup [1,2]\bigr)$.