Desde $PGL_n(\mathbb{Q})=GL_n(\mathbb{Q})/Z(GL_n(\mathbb{Q}))$, creo que debo ser capaz de eliminar los denominadores en cualquier matriz en $PGL_n(\mathbb{Q})$ para obtener una matriz en $PGL_n(\mathbb{Z})$. Pero entonces estoy confundido, porque cada inclusión $\mathbb{Q} \hookrightarrow \mathbb{Q}_p$ induce un homomorfismo inyectivo $PGL_n(\mathbb{Q}) \rightarrow PGL_n(\mathbb{Q}_p)$. Por mi razonamiento, la imagen sería en $PGL_n(\mathbb{Z}_p)$ que no parece correcto, pero no veo la diferencia en mi razonamiento. ¿Podría alguien aclarar?
Respuesta
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Me di cuenta. No son iguales. Yo había pensado en $GL_n(Z)$ como matrices con determinante distinto de cero, cuando deberían significar matrices en $M_n(Z)$ que son inversible, que equivale a tener determinante inversible en $Z$. Por lo tanto las matrices con determinante no $\pm 1$ están en el complemento.
