¿Puede aumentar $\pi$ a un poder real para que sea racional?

Question

Todos estamos familiarizados con esta hermosa prueba de si un número irracional a una potencia irracional puede ser racional o no. Es algo así:

Toma $(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$

Si es racional, entonces lo has probado, si es irracional, toma $((\sqrt{2})^{\sqrt{2}} ){^\sqrt{2}} = 2$ y lo has demostrado.

Me pregunto si puede aumentar $\pi$ o $e$ a un determinado no trivial real ¿poder para hacerlo racional? Y si no, ¿dónde está la prueba de que no se puede hacer?

p.d. - Casi me olvido del real parte, pero luego me di cuenta de que $e^{i\pi} = -1$ .

Answer 1

Por supuesto. Escoge cualquier racionalidad positiva $p$ y que $x=\log_\pi p$ entonces $\pi^x=p$ .