¿Matemáticas avanzadas "energía" más rudimentarias matemáticas?

Question

Me encontré con esta cita de Eric Weinstein que "cuando las cosas se complicaron supuestamente más avanzada, realmente consiguieron más simples porque matemáticos comenzaron a revelar lo que fue alimentando todas las cosas que aprendiste anteriormente." Quisiera saber si alguien llegó a la misma conclusión y si es así, cuidado para dar un ejemplo de tal revelación.

Answer 1

Esto es cierto cuando se aprende una "poderosa herramienta" en la escuela secundaria de matemáticas. Los dos principales ejemplos que vienen a la mente son la trigonometría y cálculo.

En trigonometría, tuvimos que memorizar un gran número de identidades trigonométricas. Aprendimos que $\tan$ es básicamente ", definida por" $\tan(x) = \sin(x)/\cos(x)$, pero aparte de eso todo fue solo memorizar el doble ángulo de fórmulas y así sucesivamente. Temprano en la universidad de matemáticas, me enteré de que $e^{iz} = \cos(z) + i\sin(z)$, y todas las identidades trigonométricas son obvios. Pero incluso entonces, yo no entendía realmente lo $e^{iz} = \cos(z) + i\sin(z)$ significaba. Finalmente, estudié análisis complejo, y la noción de complejo de exponenciación sentido. En este punto, todo lo que fluía a partir de ella se hizo más evidente. (Como un bono adicional, la comprensión de la prueba por detrás de los residuos teorema significaba que yo también era finalmente capaz de ver por qué varias de las integrales he memorizado para mis cursos de física que funcionaba).

Un segundo concepto fue de cálculo. Cuando lo he "aprendido" que $\int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln(x)$, yo no tenía idea de por qué. La mayoría de la integración fue sólo la memorización en la escuela secundaria. En mi primera clase de matemáticas en la universidad, que fue finalmente adecuadamente enseñado qué funciones se fueron, y lo que algunas de sus propiedades son - y acerca de las funciones inversas. Ahora, junto con la regla de la cadena, y sabiendo que $x\mapsto \ln(x)$ es la inversa de a $x\mapsto e^x$, el profesor nos mostró una razón simple de por qué la derivada de $\ln(x)$ $1/x$ (suponiendo que de hecho, es diferenciable).

$$1 = x' = [e^{\ln(x)}]' = e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x) = x\ln'(x)$$

Por lo tanto $\ln'(x) = 1/x$, y así una antiderivada de $1/x$$\ln(x)$. Viendo las pruebas del teorema fundamental del cálculo fue fantástica. En la secundaria, me preguntó por qué la integración es anti diferenciación, y me dijo "por supuesto", pero nunca fue evidente en todo. Que parecía completamente diferentes conceptos, de modo que yo no podía entender cómo todo el mundo estaba tan bien con la cerca de la forma en la que están atados juntos. El estudio de análisis real realmente me ayudó a entender por qué el cálculo de las obras.

Como para el de mates que he aprendido en la universidad, todos mis cursos han sido diseñados de modo de no utilizar cualquiera de las herramientas que no fueron probados en el curso o cursos anteriores. Yo no puedo darle a cualquier nivel superior de ejemplos para su pregunta.

Answer 2

La opinión de que las matemáticas avanzadas es "lo que realmente está pasando" en la matemática elemental es generalmente una falacia en mi opinión.

Es fácil cuando el aprendizaje (o incluso cuando la enseñanza) a caer en la trampa de pensar que, por ejemplo, identidades trigonométricas son a causa de los números complejos. Pero esto equivale, creo que, en gran medida a confundir la causa y el efecto.

Sería más fiel a lo que realmente está pasando en decir que nos preocupamos por el análisis complejo debido a que ocurre para simplificar (entre muchas otras cosas) el razonamiento acerca de la trigonometría.

Hay una infinidad de posibles "avanzado" de las estructuras que nos podría razonar sobre matemáticamente, pero los que obtener cualquier esfuerzo gastado en ellos son los que pueden (o se espera) conducen a respuestas a las preguntas que ya se puede pedir sin la avanzada de la teoría. A menudo lo hacen por la unificación y generalización de los conceptos que ya tenemos.

Una avanzada de la teoría de la gana en su camino respondiendo las preguntas que pueden ser preguntado en más elementales, pero son demasiado difíciles para ser respondidas por técnicas elementales. A lo largo del camino, como efectos secundarios, es común que una gran cantidad de preguntas que pueden ser contestadas con herramientas elementales para ser más simple y más fácil de responder utilizando la avanzada de la teoría, y como una cuestión de la investigación en dirección este se utiliza a menudo como una piedra de toque para saber si nos estamos acercando a batir el actualmente muy difícil de problemas.

Y, por supuesto, una vez que tenemos la avanzada de la teoría, que nos da una oportunidad para hacer aún más difícil preguntas que ni siquiera podríamos haber pensado antes, que se convertirá en la tarea de la próxima adelantado a resolver.

Pero decir que es la avanzada teoría de que los "poderes" o "genera" el original de primaria fenómenos es poner el carro delante del caballo.

Answer 3

Terry Tao, una vez hablado acerca de un concepto con el que yo había ideado: Simetrización. Para este ejemplo es: "un hombre vio Un círculo, otro vio un rectángulo: los dos estaban viendo un cilindro". Esto significa que cuando usted tiene dos dissimile estructuras, lo que te gusta hacer como un matemático es encontrar un "panorama general", esto no es para decir que todo es compatible, por el contrario: esto significa saber exactamente qué limitaciones y lo que las libertades están en el problema que estamos comprensión, esto significa que no todo es posible. Entonces, aquí viene un elemento importante.

"Matemáticas avanzadas hace las matemáticas más simples, no más difícil", que es como matar insectos como la irracionalidad de la $\sqrt{2}$ con las bombas atómicas, como Fermats Último Teorema de medios naderías porque simplemente el último conocimiento "va primero".

Yo no diría matemáticas avanzadas "poderes" matemáticas básicas, su opuesto (recordar el párrafo anterior) pero definitivamente es bueno cuando se puede tener una imagen más grande y recuperar también los detalles en su mente, que hace que el cálculo sea más fácil. Sería algún tipo de poner los resultados en la misma meseta, etc ,etc.

[Es importante señalar aquí que el conocimiento es estable, y por lo que el cerebro puede recordar mejor cuando hay conexiones lógicas entre los hechos, de esta manera, el cálculo de os, el uso de la energía se vuelve más eficiente. Ver la imagen más grande (una colección de principios) y no sólo a los escasos resultados de hace exactamente eso.]

Answer 4

Creo que lo deja bastante atrás. Más simples conceptos, y a menudo espejo más complejas. Tomar el concepto de igualdad, por ejemplo. Dos objetos son iguales si, y sólo si, son el mismo objeto. A partir de este concepto, vamos a crear el concepto de una relación de equivalencia. Una relación de equivalencia que existe entre dos objetos, si la relación R en cuestión es reflexiva, (para todos los a, aRa), simétrica (para todos los a, b, y, si aRb, entonces bRa), y la relación es transitiva (para todos los a, b, y c) de la aRb y bRc implica arco. Podemos llevar esto más lejos, sin embargo. En topología, decimos que dos espacios topológicos son equivalentes si, y sólo si, tienen exactamente el mismo conjunto de propiedades topológicas. Esta es exactamente la misma idea, aunque en la práctica todo lo que podemos decir normalmente es que los dos espacios no son toplologically equivalente, porque podemos demostrar que uno tiene la propiedad de que el otro no tiene. En la práctica, lo único que nos interesa es el más tarde, porque el primero es improbable. (No sabemos el conjunto completo de posibles propiedades topológicas, y no se puede decir que los dos espacios tienen TODAS las propiedades en común.) Así, podemos construir complejidad, desde los más simples a los más simples, y no a la inversa.

Answer 5

Lo que están pidiendo, en cierto sentido, "Es la abstracción útil?" La abstracción es el arte de la incrustación de la fácil-a-entender las ideas dentro de duro-a-comprender las ideas. En cuanto a la utilidad de este paradigma (y la respuesta a mi versión parafraseada de tu pregunta), depende. Pero, definitivamente, a veces, la abstracción ha sido de gran ayuda.

Teoría de grupos es el mejor ejemplo de la abstracción poner a buen uso, en mi opinión, y ha demostrado ser útil en una amplia variedad de problemas. A grandes rasgos, el éxito de la teoría del grupo se deriva de su capacidad para poner las ideas de simetría en lenguaje algebraico. Aplicado a ecuaciones polinómicas, lleva a la teoría de Galois, que proporciona una forma unificada de la comprensión de un popurrí de los resultados como del teorema de Abel, la fórmula cuadrática, la fórmula de Tartaglia, etc. Sophus Lie extendido las ideas abstractas de la teoría de Galois de ecuaciones diferenciales, produciendo lo que hoy conocemos como teoría de la Mentira, que es una piedra angular de la física teórica moderna. La teoría de la representación de los grupos, es también muy útil, por ejemplo, en la mecánica cuántica (en donde se aclara la estructura de momento angular).

Categoría de la teoría es aún más extremo ejemplo de la utilidad de la abstracción. Ha demostrado ser un tema unificador en la topología.

Por otro lado, la abstracción, a veces puede ser una distracción. Terrence Tao ha afirmado en una entrada de blog que en el PDE de la teoría de la abstracción, que rara vez ha producido avances (aunque a veces puede ayudar a producir una mejor exposición de las ideas conocidas). Citar:

En su mejor momento, la abstracción de manera eficiente puede organizar y capturar la clave de las dificultades de un problema, colocando el problema en un marco que permite una relación directa y natural de la resolución de estas dificultades, sin ser distraído por irrelevantes detalles concretos.... En su peor momento, la abstracción oculta la dificultad en algunas sutiles de la notación o concepto... por lo tanto incurrir en el riesgo de que la dificultad es "mágicamente" evitado por una discreta error en el resumen de manipulaciones.

Más adelante afirma

El campo de la PDE ha demostrado ser el tipo de las matemáticas, donde el progreso general, comienza en el hormigón y luego fluye a lo abstracto, en lugar de viceversa.

Por lo que la utilidad de la abstracción depende de la situación. Pero, definitivamente, a veces es útil.