¿Cómo tomo el límite para invocar la regla de L'Hospital? $ \lim_ {x \to 1} \left ( \frac {x}{x-1}- \frac {1}{ \ln (x)} \right )$

Question

Necesita tomar el límite: $$ \lim_ {x \to 1} \left ( \frac {x}{x-1}- \frac {1}{ \ln (x)} \right ) = \lim_ {x \to 1} \left ( \frac {x \cdot \ln (x)-x+1}{(x-1) \cdot \ln (x)} \right )=(0/0)$$ Ahora puedo usar la regla de L'Hospital: $$ \lim_ {x \to 1} \left ( \frac {1 \cdot \ln (x)+x \cdot \frac {1}{x}-1}{1 \cdot \ln (x)+(x-1) \cdot\frac {1}{x}} \right )= \lim_ {x \to 1} \left ( \frac { \ln (x)+1-1}{ \ln (x)+ \frac {(x-1)}{x}} \right )= \lim_ {x \to 1} \left ( \frac { \ln (x)}{ \frac {(x-1)+x \cdot \ln (x)}{x}} \right )= \lim_ {x \to 1} \frac {x \cdot \ln (x)}{x-1+x \cdot \ln (x)}= \frac {1 \cdot 0}{1-1+0}=(0/0)$$ Como puede ver, he venido a $(0/0)$ otra vez. Entonces, ¿qué tengo que hacer para resolver este problema?

Answer 1

Puedes volver a aplicar la regla de L'Hopital en el nuevo límite: $$ \lim_{x \to 1}\frac{x\cdot ln(x)}{x-1+x\cdot ln(x)}=\lim_{x\to 1}\frac{ln(x)+1}{1+ln(x)+1}=\frac{0+1}{0+1+1}=\frac{1}{2} $$

---

Alternativamente, observe que $$ \lim_{x \to 1}\frac{x\cdot ln(x)}{x-1+x\cdot ln(x)}=\lim_{x\to 1}\displaystyle\frac{1}{1+\frac{x-1}{x\cdot ln(x)}} $$ Por lo tanto, basta con calcular $$ \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x\cdot\ln(x)}=\lim_{x\to 1} \frac{1}{1+ln(x)}=1 $$ por L'Hopital, por lo que el límite original era $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$ .

Answer 2

No está garantizada la solución con una sola aplicación de la regla de L'Hopital. A veces, tendrás que aplicarla varias veces para obtener el límite.