Muestran que un finito-dimensional espacio de Banach tiene un operador compacto biyectiva

Question

Está claro que si $ T: X \rightarrow X $ es un operador compacto biyectiva, donde $ X $ es un espacio de Banach, entonces $ \dim(\text{Range}(T)) = \dim(X) $, lo que implica que el $ \dim(X) $ debe ser $ < \infty $.

¿¿Prueban lo contrario: Si $ \dim(X) < \infty $, entonces existe una biyectiva compacto operador $ T: X \rightarrow X $?

¡Gracias!

Answer 1

Supongo que el teorema quieres demostrar que es este:

Deje $(X,\Vert \cdot \Vert)$ ser un espacio de Banach. Existe un operador lineal continuo $T \colon X \to X$ compacto si y sólo si $\dim X <+\infty$.

Una manera (si) es clara: de hecho, si $\dim X<+\infty$ luego cada operador $T \colon X \to X$ es compacto (ya que su rango es finito dimensionales: este es un conocido condición suficiente para la compacidad). Por ejemplo, la identidad de $X$: es bijective (obviamente!) y compacto.

Ahora, la otra manera (sólo si): supongamos $T\colon X \to X$ es bijective y compacto. Existe $T^{-1}$ y, además, es continua: lo $TT^{-1}=\text{id}_X$ es compacto, ya que $\mathcal K(X)$ es un cerrado ideal en $\mathcal L(X)$. En particular, el cierre de la unidad de la bola de $X$ es compacto, por lo tanto el espacio de $X$ es finito dimensionales.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Teorema de, no es cierto que $ \dim(\text{Range}(T)) = \dim(X) $ implica que el $ \dim(X) < \infty $. Otra forma de razonamiento es el siguiente. Deje $ T: X \rightarrow X $ ser un bijective compacta de operador. A continuación, Delimitada por el Inverso del Teorema de, $ T^{-1} $ existe y es continua. Por lo tanto, $ T $ es también un homeomorphism. Deje $ B_{X} $ ser la bola unidad cerrada de $ X $. A continuación, $ T[B_{X}] $ es cerrado y compacto de cierre, lo que implica que $ T[B_{X}] $ es compacto (un subconjunto cerrado de un espacio compacto es también compacto). Sin embargo, como $ T $ es un homeomorphism, $ B_{X} $ a continuación, debe ser compacto. Por lo tanto, como consecuencia de Riesz del Lexema, $ \dim(X) < \infty $.

Por supuesto, Romeo respuesta es muy hábil en el sentido de que el razonamiento con el ideal de $ \mathcal{K}(X) $ nos ahorra un montón de trabajo.