$Aut_\mathbb{Q}(\overline{\mathbb{Q}})$ es incontable

Question

¿Cómo mostrar que $Aut_\mathbb{Q}(\overline{\mathbb{Q}})$ es incontable?

Gracias de antemano

Answer 1

Sugerencia: Mostrar existe un conjunto infinito de raíces mutuamente independientes del orden $2$ que son complejas, entonces cada subconjunto $A$ de este conjunto hay una permutación que conjuga todas las raíces de los $A$.

Answer 2

Considerar cualquier cadena de subcampos desigual $\mathbb{Q}\subset K_1\subset K_2\subset\ldots$ $\mathbb{Q}$ que son todas normales y cuya unión es $\overline{\mathbb{Q}}$. Entonces podemos ampliar cualquier automorfismo de $K_2/K_1$ en finito muchos (pero más de uno) formas, y que se extenderá a cualquiera de la (finitamente muchos pero más de uno) automorphisms de $K_3/K_2$, etcetera. Para que podamos construir automorfismos de la clausura algebraica inductivamente, cada uno de los cuales es una secuencia infinita de finito muchas opciones, y hay uncountably muchos tales secuencias.

Answer 3

En general, un espacio profinito es finito o incontables. (Un espacio profinito es un espacio de Hausdorff compacto, totalmente desconectado. La prueba de que este espacio es finito o uncoutable es totalmente topológica; Vea si usted puede venir para arriba con él!)

Pero $G_{\mathbf Q}$, que es profinito, no puede ser finito, puesto que hay finitas extensiones de Galois de $\mathbf Q$ de alto grado arbitrario (y sus grupos de Galois son cociente de $G_{\mathbf Q}$).