Desplazamientos pares matrices nilpotentes: solución alternativa necesitada

Question

Tengo un problema:

• Deje $A_1,A_2,...,A_n$ $n\times n$ nilpotent matrices que se conmutan en cada par ($A_iA_j=A_jA_i$). Probar que:

$$A_1A_2...A_n=0$$

Tengo una solución en la demostración de que $Im(A_n)$ es un invariante supspace en $A_1...A_{n-1}$, por lo tanto, podemos utilizar el método de inducción considerando el $n-1$ restricciones $A_1|_{Im(A_n)}$, $A_2|_{Im(A_n)}$, ... $A_{n-1}|_{Im(A_n)}$.

Sin embargo, yo realmente quieres encontrar una prueba directa (tal vez sin el uso de la restricción de transformaciones lineales sobre un invariante supspace), ya que creo que sería una forma más intuitiva de ver el problema (en comparación con la del método de la inducción).

Answer 1

Aquí está una ligera variación:

Deje $A,B \in \text{Hom}(V,V)$ ser matrices que conmutan con a $A$ nilpotent y $B$ cero. A continuación,$\text{rank}(AB) < \text{rank}(B)$.

Prueba: $A(B(V)) = B(A(V)) \subset B(V)$, por lo que el $A\mid_{Im(B)}$ es de $Im(B)$$Im(B)$. Si $A(Im(B)) = A(Im(B))$, $A\mid_{Im(B)}$ no pudo ser nilpotent.

Así, llegamos a la conclusión de que $Im(AB) = A(Im(B)) \subsetneq Im(B)$. Es decir, $\text{rank}(AB) < \text{rank}(B)$.
$$\square$$

Ahora (suponiendo $A_2 \cdots A_n \neq 0$), tenemos $$ \operatorname{rango}(A_1 \cdots A_n) < \operatorname{rango}(A_2 \cdots A_n) < \cdots < \operatorname{rango}(A_n) < \operatorname{rango}(I) = n $$ La conclusión de la siguiente manera.

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Es discutible si esta prueba es esencialmente diferente de lo que he descrito, pero al menos se parece más claro. En algún momento, usted tendrá que utilizar algún hecho sobre subespacios invariantes, o si no lo hace directamente.

Dos métodos alternativos que podrían trabajo son el uso de vectores propios (asumiendo $\Bbb C$ es el campo base) o "simultánea superior triangularization".

Answer 2

La cosa interesante acerca de un nilpotent operador $A$ es que es nilpotent en cualquier subespacio invariante. Por lo $A$ no puede ser invertible en cualquier subespacio invariante $\mathcal{M}$, lo que significa que la desigualdad de $\dim(A\mathcal{M}) < \dim(\mathcal{M})$ deben ser estrictos, excepto para el caso trivial donde $\mathcal{M}=\{0\}$.

Para tu caso, vamos a $X$ ser el espacio de dimensión $n$. A continuación, $A_{1}X$ tiene dimensión en la mayoría de las $n-1$, y es invariante bajo $A_{2}$. $A_{2}$ es nilpotent en $A_{1}X$; así que o $A_{1}X=0$ o $A_{2}A_{1}X$ tiene dimensión en la mayoría de las $n-2$, etc..