Definición: Dejar $R$ ser un anillo conmutativo. El nivel de $R$, denotado $s(R)$, es el menor entero positivo $s$ tal que $-1$ puede ser escrito como la suma de $s$ muchas plazas en $R$. Set $s(R)=\infty$ si no $s$ existe.
Usted podría recordar que un campo de $F$ es formalmente real si y sólo si $s(F)=\infty$.
Pregunta: Vamos a $F_n$ a ser el campo de fracciones de la integral de dominio $$\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]/(x_1^2+\ldots+x_n^2+1).$$ What is $s(F_n)?$ (It is clearly bounded above by $$n.)
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He estado leyendo algo de literatura sobre este y la cuestión de los posibles niveles de campos, fue elaborado por el siguiente resultado de Pfister en 1965.
Teorema:
- Si $F$ es un campo con $s(F)<\infty$ $s(F)$ es una potencia de 2.
- Deje $m\geq 0$ y supongamos $2^m\leq n<2^{m+1}$. Deje $F=\mathbb{Q}(x_1,\ldots,x_n)$ y establezca $d=x_1^2+\ldots+x_n^2\in F$. A continuación,$s(F(\sqrt{-d}))=2^m$.
Así que las potencias de 2 son exactamente los enteros positivos que pueden ocurrir a medida que el nivel de un campo.
Para general conmutativa anillos hay más posibilidades. En particular, este resultado de la Dai, Lam, Peng de 1980.
Teorema: Vamos A $R_n=\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]/(x_1^2+\ldots+x_n^2+1)$. A continuación,$s(R_n)=n$.
La prueba (al menos la que yo he leído) de esto último es mucho más fácil que Pfister del resultado, y es muy interesante, en el sentido de que se usa el famoso Borsuk-Ulam Teorema de topología.
Así que mi pregunta indaga sobre el nivel del campo de fracciones de $R_n$, que a su vez está limitada por arriba por $n$. Pero por Pfister, el resultado debe ser una potencia de 2. Por ejemplo, debe ser fácil para mostrar $s(F_3)=2$. A la luz de la parte dos de Pfister del teorema, tal vez sea razonable esperar que los $s(F_n)$ a ser la mayor potencia de 2 que no está aún más de $n$. Tal vez hay una manera de alterar la prueba de la parte dos de Pfister del teorema de hacer que funcione para $F_n$.
El enlace que he estado leyendo de todo esto es la siguiente: http://www.math.tifr.res.in/~anands/Nivel.pdf
