Demostrando que un grupo de orden $77$ es cíclico.

Question

Probar que un grupo de orden $77$ es cíclico.

Llegué a un paso, a continuación, se quedó atascado.

Mi intento:

Deje $G$ ser un grupo con $|G|= 77$. $G$ puede tener elementos de pedidos $7$, $11$ y $77$ (divisores de $77$).

Si $G$ tiene un elemento de orden $77$, entonces hemos terminado.

Si $G$ sólo tiene elementos de orden $7$, entonces el número de elementos de orden $7$ es divisible por $\phi(7)= 6$, entonces vamos a tener, debido a la presencia del elemento de identidad de la orden $1$, $|G|= 77= 6k+1$, para algunos $k$. Esto produce que el $76=6k$, pero $6\nmid 76$.

De igual manera, si suponemos que el $G$ sólo tiene elementos de orden $11$. Vamos a trabajar de la misma manera hasta llegar a la $10\nmid 76$.

Por lo tanto llegamos a la conclusión de que $G$ tiene elementos de orden $7$$11$.

Aquí no sé cómo continuar.

Sé que si $a,b \in G$ donde $|a|= 7$ $|b|= 11$ $|ab|$ divide $lcm(7,11)= 77$, pero, ¿cómo demostrar que no es un elemento de orden $77$??

Que debo hacerle saber que no me lleve el teorema diciendo:

$|HK|= \frac{|H||K|}{|H\cap K|}$, como yo lo veo en las pruebas semejantes.

Answer 1

Ahora que Sylow implica directamente que hay elementos de orden $7$$11$, es decir, cualquier nonidentity elementos de cualquier $7$ - $11$- subgrupos de Sylow.

Sugerencia Deje $\sigma$ ser un elemento de orden $7$ $\tau$ ser un elemento de orden $11$. Si podemos demostrar que $\sigma$ $\tau$ viaje, a continuación, $\sigma \tau$ debe tener un orden $7 \cdot 11$$(\sigma \tau)^7 = \sigma^7 \tau^7 = \tau^7 \neq e$$(\sigma \tau)^{11} = \sigma^4 \neq e$.

Consultoría de Sylow y usando el hecho de que $7 \nmid (11 - 1)$ implica que tanto $\Sigma := \langle \sigma \rangle$ $\langle \tau \rangle$ son normales en $G$. En particular, $G / C_G(\Sigma)$ es un subgrupo de $\textrm{Aut}(\Bbb Z_p)$. Usted puede usar esto para mostrar que $\Sigma \leq Z(G)$?