En una demostración del Lemma de Schwarz (Sarason, "Complex Function Theory", pp. 91-92) la función $g$ se define en el disco mediante
$$g(z) = \begin{cases}\frac {f(z)}z&\mbox{ for } 0 < |z| < 1\\ f'(0)&\mbox{ for } z = 0.\end{cases}$$
La prueba continúa diciendo que para $0 < r <1$ , $g$ está limitada por $\frac {1}{r}$ en el círculo $|z| = r$ y, por tanto, tiene el mismo límite en el disco $|z| \le r$ por el principio del módulo máximo.
Esto es cierto para todos $r$ en $(0,1)$ , $g$ está limitada en valor absoluto por $1$ .
Esto tiene mucho sentido formalmente.
Estas son mis preguntas:
1) Intuitivamente cuando veo que algo está limitado por $\frac {1}{r}$ y $r$ tiene valores en $(0,1)$ naturalmente pensaría en $r$ estar cerca de $0$ y $\frac {1}{r}$ bastante grande. Entonces llega el principio del módulo máximo y lo cierra todo a un límite de $1$ .
¿Cómo puedo pensar intuitivamente sobre el análisis complejo para ver cómo mi instinto ingenuo no se aplica aquí?
2) En el enunciado del Lemma, se nos da que $f(0) = 0$ . Me parece que esto entra en juego a la hora de definir $g$ .
Una vez más, ¿cómo puedo obtener una visión intuitiva en cuanto al poder que tiene esta estipulación en proporcionar el criterium para la conclusión del Lemma.
Y a mayor escala, ¿cómo me entreno para "pensar más complejo"?
Gracias
