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Question

Bosqueje la gráfica de la función $y=x(4-x)-83\ln(x)$. Indicar los puntos de transición (extrema local y puntos de inflexión).

I entender cómo solucionar este problema matemáticamente, sin embargo, es allí cualquier manera de analizar la pregunta para obtener un mejor entendimiento de lo que el gráfico se vería? No soy la mejor a la hora de entender la aparición de gráficos a través de su función.

Answer 1

Algunas estrategias generales:

• Si no se indica explícitamente, averiguar el dominio. Para nuestro ejemplo, puesto que el logaritmo sólo está definida para valores positivos $x$, nuestro dominio es $(0, \infty)$.
• Obtener las asíntotas de la gráfica. Para nuestro ejemplo, como $x \to 0^+, x(4-x) \to 0$$\ln x \to -\infty$. Por lo tanto $y \to +\infty$ $x=0$ es una asíntota.
• Localizar los puntos estacionarios (extremos locales y puntos estacionarios de inflexión) por la diferenciación. Para nuestro ejemplo se puede probar que no existen puntos estacionarios mediante el discriminante cuadrático.
• Analizar el comportamiento de la gráfica en $\pm \infty$. Para nuestro ejemplo, sólo $+\infty$ es aplicable debido al dominio. Como $x \to + \infty, x(4-x) \to -\infty$$\ln x \to + \infty$$y \to -\infty$.
• Uso la continuidad de la propiedad, si es aplicable. Nuestro gráfico se compone de un polinomio ($x(4-x)$) y una función logaritmo, ambos de los cuales son continuos. Por lo tanto, nuestro gráfico va a ser continuo (y, de hecho, "suave"). El uso de esta propiedad, además de la información arriba es generalmente suficiente para determinar la forma general de la gráfica.

Y por último, en caso de duda, nunca está de localizar un par de los puntos en el gráfico (por la sustitución de un par de números en la ecuación).