Tengo un problema que me parece que debería ser capaz de visualizar una respuesta, pero no puedo. Tal vez necesito tomar un enfoque más formal.
"Vamos a $A$ ser un no-vacío abierto convexo subconjunto de $\mathbb{R}^2$, y supongamos que $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ cumple que $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ en todos los puntos en $A$. Probar que existe una función de $g$ de una variable tal que $f(x,y) = g(y)$. Mostrar que esta conclusión puede fallar si la convexidad es reemplazada por la capacidad de conexión".
Para la primera parte, tal vez yo pueda hacer algo como lo siguiente:
Al $A$ es convexa, puedo tomar cualquier de los puntos de $\boldsymbol{a_0}, \boldsymbol{a_1} \in A$ donde $\boldsymbol{a_0} = (x_0, y_0), \boldsymbol{a_1} = (x_0 + h, y_0)$, y tiene el segmento de línea que une a ellos en $A$.
Desde $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ todas partes en este segmento de línea, algunos de valor de la media de negocios muestra que $f(\boldsymbol{a_0}) = f(\boldsymbol{a_1})$, sin importar el valor de $h$. Por lo tanto, en cualquier $y=y_0$, $f$ no depende de $x$, lo $f(x,y) = g(y)$ solamente.
Obviamente he utilizado la convexidad de $A$ a mostrar esto, pero me parece que no puede encontrar un contraejemplo que hace fallar al $A$ está conectado pero no convexo. Si $A$ no estaban aún no está conectado, por lo que era separable en discontinuo abrir conjuntos de $A_1$$A_2$, sería fácil ver que $f$ podría tener diferentes valores constantes w.r.t. $x$ en cada región. Esta separación podría permitir la $f$ a depender de $x$ aunque $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ donde $f$ está definido.
Es el conectado pero no convexo caso de que molesto. Cuanto más pienso en ello, menos sensible suena. Si queremos demostrar que las $f(x,y)$ no es sólo una función de $y$, se debe ser capaz de encontrar algunos $\boldsymbol{a_0}, \boldsymbol{a_1} \in A$, como en el anterior (que tiene el mismo $y$ los valores, pero en diferentes $x$ valores) tal que $f(\boldsymbol{a_0}) \neq f(\boldsymbol{a_1})$. Suponemos $A$ está conectado. Desde $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ todas partes en $A$, parece que cualquier curva en $f(A)$ que conecta los puntos que mentir en un plano paralelo a la $xy$ plano, otra cosa $f$ iba a cambiar con el cambio de $x$. Pero si eso fuera así, ¿cómo podríamos tener el $f(\boldsymbol{a_0}) \neq f(\boldsymbol{a_1})$?
Claro que mi intuición me fallaba aquí. Podía alguien me corrigieron?
Este es mi primer post en Matemáticas de Intercambio, por favor, hágamelo saber si estoy haciendo algo mal. Gracias!
