Por favor, ayuda en este problema de Probabilidad

Question

Una bolsa contiene 5 canicas rojas y 7 canicas verdes. Se extraen dos canicas al azar, una cada vez, y sin reemplazamiento. Halla la probabilidad de sacar una roja y una verde, sin orden.

Así es como intenté responder a la pregunta: Primero voy $P(\text{Red})= 5/12$ y $P(\text{Green})= 7/11$ y multiplicó los dos: $$\frac{7}{11}\times \frac{5}{12}= \frac{35}{132}$$ Entonces conseguí $P(\text{Green})= 7/12$ y $P(\text{Red})= 5/11$ $\implies$ $$\frac{5}{11} × \frac{7}{12}= \frac{35}{132}$$ Así que decidí que $$P(\text{G and R}) \;\text{ or }\; P(\text{R and G}) =\frac{35}{132} + \frac{35}{132} =\frac{35}{66}$$ ¿Es correcto?

Answer 1

Muy bonito y acertado intento. Usted reconoció que hay dos maneras una vez puede dibujar una canica roja y verde, dado dos sorteos: Rojo luego Verde, o Verde luego Rojo. Tuviste en cuenta que las canicas no se reemplazan. Y tus cálculos son correctos: multiplicaste cuando tenías que multiplicar y sumaste cuando tenías que sumar:

$$\left[P(\text{1. Red}) \times P(\text{2. Green})\right]+ \left[P(\text{1. Green}) \times P(\text{2. Red})\right]$$

Su método y resultado son correctos.

Answer 2

Su método es correcto. Para problemas más complicados del mismo tipo general, se podría adoptar un enfoque ligeramente distinto.

Imagine que el $12$ las canicas son distintas, tienen números de carné de conducir diferentes. Hay $\binom{12}{2}$ formas igualmente probables de elegir $2$ canicas del $12$ .

Existen $\binom{5}{1}$ maneras de elegir una canica roja, y $\binom{7}{1}$ formas de elegir un mármol verde. Así, hay $\binom{5}{1}\binom{7}{1}$ maneras de elegir un rojo y un verde. De ello se deduce que nuestra probabilidad es $$\frac{\binom{5}{1}\binom{7}{1}}{\binom{12}{2}}.$$ ¡Más fuerte! Sin embargo, supongamos que tenemos $25$ canicas, $10$ rojo y $15$ verde. Elegimos (sin sustitución) $8$ canicas. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos $3$ rojo y $5$ ¿verde? El mismo análisis muestra que la probabilidad es $$\frac{\binom{10}{3}\binom{15}{5}}{\binom{25}{8}}.$$