Derivando la expresión de Taylor 2-variable de 1 variable

Question

Supongamos que sabemos del teorema de Taylor para $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con el resto. ¿Cómo podemos usar esto para derivan del teorema de Taylor para $g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ con el resto?

Para empezar, yo estoy tratando de averiguar qué versión de la 1-dimensional Taylor resto de usar (opciones de Lagrange, Cauchy, o de forma integral). Para hacer esto, necesito averiguar el resto para 2-variable de Taylor. Listas de Wikipedia el resto para un general de n-variables del teorema de Taylor, pero estoy teniendo problemas para extraer el 2-dimensional caso de ella.

Answer 1

(este es bastante lo que dijo Michael, me acaba de pasar a tener un par de notas sobre esto y pensé que esto podría ser útil. Si yo fuera usted, me gustaría tratar de extrapolar a partir de Lagrange forma de que el resto)

Ya sabemos del teorema de Taylor para funciones en $\mathbb{R}$, $$ g(x) = g(a)+g'(a)(x-a) + \frac{1}{2}g''(a)(x-a)^2 +\cdots +\frac{1}{k!}g^{(k)}(a)(x-a)^k + R_k $$ y... Si el resto término se desvanece como $k \rightarrow \infty$, entonces la función de $g$ es representado por la serie de Taylor dada anteriormente y escribimos: $$ g(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}g^{(k)}(a)(x-a)^k. $$ Considere la función de dos variables $f: U \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ que es suave con un suave derivadas parciales de todos los pedidos. Además, vamos a $(a,b) \in U$ y la construcción de una línea a través de $(a,b)$ con vector de dirección $(h_1,h_2)$, como de costumbre: $$ \phi (t) = (a,b) + t(h_1,h_2) = (a+th_1, b+th_2) $$ para $t \in \mathbb{R}$. Nota:$\phi(0)=(a,b)$$\phi '(t) = (h_1,h_2) = \phi ' (0)$. Construcción $g = f \,{\scriptstyle \stackrel{\circ}{}}\, \phi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y elija $dom(g)$ tal que $\phi(t) \in U$$t \in dom(g)$. Esta función $g$ es un valor real de la función de una variable real y vamos a ser capaces de aplicar Taylor teorema de cálculo II en $g$. Sin embargo, para diferenciar $g$ necesitaremos herramientas de cálculo III para ordenar los derivados. En particular, como podemos diferenciar $g$, tenga en cuenta que el uso de la regla de la cadena para funciones de varias variables: $$ \begin{align} \notag g'(t) =(f \,{\scriptstyle \stackrel{\circ}{}}\, \phi)'(t) &= f'(\phi(t))\phi '(t) \\ \notag &= \nabla f(\phi(t)) \cdot (h_1,h_2) \\ \notag &= h_1f_x(a+th_1, b+th_2)+h_2f_y(a+th_1, b+th_2) \notag \end{align} $$ Nota:$g'(0)=h_1f_x(a, b)+h_2f_y(a, b)$. Diferenciar de nuevo (omito $(\phi(t))$ dependencia en los últimos pasos), $$ \begin{align} \notag g''(t) &= h_1f_x '(a+th_1, b+th_2)+h_2f_y '(a+th_1, b+th_2) \\ \notag &= h_1 \nabla f_x (\phi(t)) \cdot (h_1,h_2) +h_2 \nabla f_y (\phi(t)) \cdot (h_1,h_2) \\ \notag &= h_1^2f_{xx}+ h_1h_2f_{yx} + h_2h_1f_{xy}+ h_2^2f_{yy} \\ \notag &= h_1^2f_{xx}+ 2h_1h_2f_{xy} + h_2^2f_{yy} \notag \end{align} $$ Por lo tanto, hacer explícito el punto de la dependencia, $g''(0) = h_1^2f_{xx}(a,b)+ 2h_1h_2f_{xy}(a,b) + h_2^2f_{yy}(a,b)$. Podemos construir la serie de Taylor para $g$ hasta cuadrática términos: $$ \begin{align} \notag g(0+t) &= g(0)+tg'(0)+\frac{1}{2}g''(0) + \cdots \\ \notag &= f(a,b)+t[h_1f_x(a, b)+h_2f_y(a, b)]+\frac{t^2}{2}\bigl[ h_1^2f_{xx}(a,b)+ 2h_1h_2f_{xy}(a,b) + h_2^2f_{yy}(a,b) \bigr] + \cdots \\ \notag \end{align} $$ Tenga en cuenta que $g(t)= f(a+th_1, b+th_2)$ por lo tanto $g(1) = f(a+h_1, b+h_2)$ y, en consecuencia, $$ \begin{align} \notag f(a+h_1, b+h_2) &= f(a,b)+h_1f_x(a, b)+h_2f_y(a, b)+ \\ \notag & \qquad +\frac{1}{2}\biggl[ h_1^2f_{xx}(a,b)+ 2h_1h_2f_{xy}(a,b) + h_2^2f_{yy}(a,b) \biggr] + \cdots \notag \end{align} $$ Omitiendo el punto de la dependencia de la $2^{nd}$ derivados, $$ \boxed{ f(a+h_1, b+h_2) = f(a,b)+h_1f_x(a,b)+h_2f_y(a,b)+ \tfrac{1}{2}\bigl[ h_1^2f_{xx}+ 2h_1h_2f_{xy} + h_2^2f_{yy} \bigr] + \cdots }$$ A veces nos gustaría tener una expansión sobre $(x,y)$. Para obtener la fórmula de simplemente sustituir $x-a = h_1$$y-b = h_2$. Tenga en cuenta que el punto de $(a,b)$ se fija en esta discusión para que los derivados no son modificados en esta sustitución, $$ \begin{align} \notag f(x, y) &= f(a,b)+(x-a)f_x(a, b)+(y-b)f_y(a, b)+ \\ \notag & \qquad +\frac{1}{2}\biggl[ (x-a)^2f_{xx}(a,b)+ 2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b) + (y-b)^2f_{yy}(a,b) \biggr] + \cdots \notag \end{align} $$ En este punto, debemos reconocer los tres primeros términos de dar el plano tangente a$z = f(z,y)$$(a,b,f(a,b))$. Los términos de orden superior no son lineales correcciones a la linealización, estos cuadrática términos constituyen una forma cuadrática. Si calculamos la tercera, cuarta o los términos de orden superior nos encontraremos con que, el uso de $a=a_1$$b=a_2$$x=x_1$$y=x_2$, $$ \boxed{f(x, y) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{i_1=0}^{2}\sum_{i_2=0}^{2} \cdots \sum_{i_n=0}^{2} \frac{1}{n!} \frac{\partial^{(n)}f(a_1,a_2)}{\partial x_{i_1}\partial x_{i_2} \cdots \partial x_{i_n}} (x_{i_1} -a_{i_1})(x_{i_2} -a_{i_2})\cdots (x_{i_n} -a_{i_n})} $$

Answer 2

Esto probablemente no es totalmente lo que usted quiere, pero lo voy a dejar aquí de todos modos como puede ayudarte en tu camino.

Esto prueba que el segundo-orden de la fórmula de Taylor para campos escalares. Creo que el caso general sólo implica algunos lápiz empujando para averiguar la $n^\text{th}$ derivado de la $f$.

Deje $g:\Bbb R^2 \to \Bbb R$. A continuación, considere la posibilidad de $f(t)=g(\mathbf a + t \mathbf y)$$|t|\le 1$. Luego de aplicar la fórmula de Taylor a $f$, es decir, tenemos que $$f(1)=f(0)+f'(0)+\frac 1 {2!}f''(c), \quad\text{where}\quad 0<c<1$$ (Aquí hemos utilizado Lagrange del formulario para el resto.) Ahora desde $f$ es una función de composición, tenemos que $f'(t)=\nabla g(\mathbf a + t\mathbf y)\cdot \mathbf y$. En particular, $f'(0)=\nabla g(\mathbf a)\cdot \mathbf y$. Ahora todo lo que queda es para diferenciar $f'(t)$ nuevo. Escribir $$\begin{array}{rl}f'(t)=&D_1 g(\mathbf a+ t \mathbf y)y_1+D_2g(\mathbf a +t\mathbf y)y_2\\ \implies f''(t)=&D_1D_1g(\mathbf a + t \mathbf y)y_1^2+D_2D_1g(\mathbf a +t\mathbf y)y_2y_1+\\ &D_1D_2g(\mathbf a + t\mathbf y)y_1y_2+D_2D_2g(\mathbf a + t \mathbf y)y_2^2\\ =&\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2D_{ij}g(\mathbf a + t \mathbf y)y_iy_j\end{array}$$ Tenga en cuenta que nosotros podemos escribir $f''(t)=\mathbf y H[\mathbf a + t\mathbf y] \mathbf y^\text T$ donde $H$ es la Matriz Hessiana de $f$. Así se tiene (a partir de la fórmula de Taylor para $f$):

$$g(\mathbf a+\mathbf y)=g(\mathbf a)+\nabla g(\mathbf a )\cdot \mathbf y + \frac 1 2 \mathbf y H[\mathbf a+c\mathbf y]\mathbf y^\text T$$

Parece que este puede ser ampliado aún más, mediante una fórmula general para el cálculo de la $n^\text{th}$ derivado de la $f$, que es lo que hacen en la página de la Wikipedia. También tenga en cuenta que aquí he utilizado de Lagrange formulario del resto, mientras que la Wikipedia tiene la forma Integral de el resto. Esencialmente, cualquier forma de que el resto será trabajo, sin embargo, ciertas formas pueden ser más útiles que otros para determinadas aplicaciones.