Encontrar todos los círculos dados dos puntos y no el del centro

Question

Esta es, probablemente, muy sencillo para usted.

Tengo dos puntos en un círculo, $(-4, 7)$$(-5, 0)$. Teniendo en cuenta estos dos puntos y el radio de $5$, ¿cuáles son todas las posibles ecuaciones?

Mi primera idea fue la de resolver el sistema

$\sqrt{(-4-a)^2 + (7-b)^2} = 5\tag 1$

$\sqrt{(-5-a)^2 + b^2} = 5\tag 2$

Donde $(a, b)$ es el punto central. Sin embargo, no tengo las respuestas correctas. Tal vez esta pregunta debe ser acerca de cómo resolver el sistema.

Gracias de antemano!

Editar:

Esta es la formulación del problema:

Encontrar todos los círculos a través de los puntos de $(-4, 7)$$(-5, 0)$, con un radio de $5$.

Answer 1

Siguiendo tu idea:

$$(a+4)^2+(b-7)^2=5^2=(a+5)^2+b^2\implies 8a+16-14b+49=10a+25\implies$$

$$2a=-14b+40\implies a=-7b+20$$

Así que todos los centros posibles de círculos cumpliendo la condición están en la línea recta anterior...

Answer 2

Me gustaría personalmente a empezar con la siguiente 2 ecuaciones.

$(-4-a)^2 + (7-b)^2 = 25$ (1)

$(-5-a)^2 + b^2 = 25$ (2)

distribuir fuera de las plazas.

$16 + 8a +a^2 + 49 - 14b + b^2 = 25$ (1)

$a^2 + b^2 + 8a - 14b + 40 = 0$ (1)

$25 + 10a + a^2 + b^2 = 25$ (2)

$a^2 + b^2 + 10a = 0$ ahora establecemos la igualdad de

$a^2 + b^2 + 10a = a^2 + b^2 + 8a - 14b + 40$

$2a = -14b + 40$

$a = 20 -7b$ ahora sustituimos esto en la anterior ecuación. Estoy usando la ecuación 2

$(20 - 7b)^2 + b^2 + 10(20 - 7b) = 0$

$400 - 280b + 49b^2 + b^2 + 200 - 70b = 0$

$600 -350b + 50b^2 = 0$

El uso de la fórmula cuadrática, b es igual a 4 o 3, por lo que a = -8 o -1, respectivamente, lo que nos da dos posibles centros de (-8,4) o (-1,3). Esto puede ser verificado mediante la ecuación original.

Answer 3

He aquí una más enfoque geométrico. Deje $P=(-4, 7)$ $Q = (-5, 0)$ ser los dos puntos en el círculo. Entonces, el centro del círculo es un punto de $S$ tal que $SP = SQ$. El lugar geométrico de todos los puntos de la mediatriz de $PQ$. Esto puede ser visto usando triángulos semejantes: Vamos a $R$ ser el punto medio de la $PQ$, e $X$ ser algún punto sobre la mediatriz de $PQ$ otros de $R$ (si $X=R$,$PX = QX$, por definición). entonces $P\hat{R}X = Q\hat{R}X$, $PR=QR$, y por el lado de $RX$ es compartido entre los triángulos $PRX$$QRX$, por lo que los triángulos son semejantes. Por lo tanto, $PX=QX$, y los dos puntos se encuentran en el mismo círculo con el centro $X$.

Con este enfoque permite encontrar $b$ en términos de $a$, por lo que sólo necesita para resolver la ecuación cuadrática (personalmente, yo prefiero la que implica el punto de $(-5, 0)$).

Answer 4

Otro enfoque geométrico, dejando $P=(-4,7)$ $Q=(-5,0)$ es para la construcción de la línea recta $L$ a través de $P$ perpendicular a $PQ$, señalando que $PQ$ tiene una longitud de $\sqrt {50}$.

Si $R$ es un punto en el $L$ a pie $10$ $Q$ $QR$ será un posible diámetro del círculo (el ángulo de $P$ será un ángulo recto).

Se da la circunstancia de que el triángulo $PQR$ es isósceles de ángulo recto (la simple aplicación de Pitágoras), por lo que es sencillo localizar $R$ (dibujar un diagrama si es del todo difícil) - necesita añadir/restar 7 de la primera coordenada $P$ y resta/suma 1 a la segunda coordinar dando a $R=(3,6)$ o $(-11,8)$. [el vector $PQ$ $(-1,-7)$ y necesitamos un vector de la misma longitud, en ángulo recto]

El centro del círculo es el punto medio de la $QR$ que es simplemente calcula como: $(-1,3)$ o $(-8,4)$ respectivamente.

Tenga en cuenta que esto fue hecho con muy aritmética simple y sin resolver ecuaciones cuadráticas. Sin embargo, algunos de los otros métodos sugeridos funcionan mejor en situaciones generales. Este método tiene la ventaja de las características especiales de esta situación.

Answer 5

Dados dos puntos a ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) y el radio(r).

podemos encontrar el centro de la siguiente manera:

M(a,b) = ( ( x1 + y1 ) / 2 , ( y1 + y2 ) / 2 ) ser el punto medio de a y B.

Deje que la distancia entre a y M h.

A partir de este punto medio, la distancia al centro del círculo es necesario

d = ( ( r^2 ) - ( ( h^2 ) ).

El centro sería:

C ( x , y ) = ( a + ( d * ( y1 - y2 ) / ( h ) ) , b + ( d * ( x1 - x2 ) / h )

( O )

C ( x , y ) = ( a - ( d * ( y1 - y2 ) / ( h ) ) , b - ( d * ( x1 - x2 ) / h )

porque no puede haber dos centros con Radio determinado, ya sea del lado de la línea que une dados dos puntos..