Ideales y filtros

Question

Las nociones de un filtro y un ideal en un poset hacer intuitivo sentido para mí, y puedo entender por qué son duales:

Un subconjunto $I\subset P$ de un poset $P$ es un ideal si:

• para todos $x\in I$, $y\leq x$ implica $y\in I$
• para todos los $x,y\in I$ existe $z\in I$ $x\leq z$ $y\leq z$

y un filtro es la misma cosa con todas las desigualdades invertido.

Siento que esta debe corresponder a la noción de un anillo ideal, donde de un anillo de $R$ tenemos $I\subset R$ ser un anillo ideal si:

• para todos los $x,y\in I$ tenemos $x+y\in I$
• para todos los $x\in I$ $r\in R$ tenemos $rx\in I$ $xr\in I$

pero me gustaría una aclaración en este punto. Siguiente, mi principal pregunta es: ¿existe una correspondiente noción de un 'anillo de filtro", que es dual a la noción de un anillo ideal de la misma manera que un filtro en un poset es dual a un ideal? O no hay relación en absoluto, excepto por una coincidencia en el nombre?

Answer 1

El nombramiento no es una coincidencia. Un ideal en un anillo booleano es lo mismo que un orden ideal en el poset booleano asociado, donde puede definir la relación de orden en $a \le b$ si $a = ab$. Pero no veo ninguna razón para esperar una noción asociada bien-comportada del filtro para los anillos generales.