Suryectividad del mapa de multiplicación $H^0(X,L)^{\otimes t} \to H^0(X,L^{\otimes t})$

Question

Dado un esquema propio e integral $X$ sobre un campo arbitrario y una gavilla invertible $L$ en $X$ ¿existe algún número entero $k \gt 0$ de manera que los mapas

$H^0(X,L^{\otimes k})^{\otimes t} \to H^0(X,L^{\otimes kt})$

se convierte en suryectiva para todos los enteros $t \ge 0$ ? ¿O hay algún contraejemplo?

Answer 1

No, tal $k\gt 0$ no tiene por qué existir.

Toma para $X$ una curva proyectiva suave de género $g\gt 0$ y para $L$ toma $\mathcal O(p)$ , donde $p$ es algún punto racional de $X$ .
Entonces $ \operatorname \:{dim } (H^0(X,L))=1$

Por otro lado, Riemann-Roch implica que para $N=\operatorname {deg}(L^{\otimes N})\geq g+1$ tenemos $ \operatorname \:{dim }H^0(X,L^{\otimes N})\geq 2$ .
Ya que por supuesto $ \operatorname \:{dim } (H^0(X,L)^{\otimes N})=1$ el mapa $H^0(X,L)^{\otimes N} \to H^0(X,L^{\otimes N})$ no puede ser surjetivo y a fortiori el $k\geq 0$ sobre el que preguntas no existe.

Editar
La pregunta fue editada después de que la respondiera. La pregunta original era sobre la subjetividad de $H^0(X,L)^{\otimes kt} \to H^0(X,L^{\otimes kt})$ . Así que mantengo mi respuesta con el advertencia que la inexistencia de $k$ se refiere al $k $ de la pregunta original, sobre la subjetividad de $H^0(X,L)^{\otimes kt} \to H^0(X,L^{\otimes kt})$ . Muchas gracias a QiL'8 por llamarme la atención sobre la modificación de la pregunta.

Answer 2

Creo que te referías a la subjetividad de $H^0(X,L^k)^t\rightarrow H^0(X,L^{kt})$ . En cualquier caso, su afirmación es cierta para paquetes de líneas amplios, véase la sección de regularidad de Castelnuovo-Mumford de la obra Positividad de Lazarsfeld.