Para un irreducible mónico $f\in\mathbb{Z}[x]$ ¿es cierto que $\overline{f}\in\mathbb{F}_p[x]$ será irreducible para todos los casos, excepto para un número finito de $p$ ?

Question

Dejemos que $f\in\mathbb{Z}[x]$ sea una mónica irreducible, entonces no es necesario que $\overline{f}\in\mathbb{F}_p[x]$ será irreducible. Pero, ¿será irreducible para todos los que no sean finitos $p$ ? Mi intuición es que esto es probablemente falso, pero no tengo idea de cómo encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Lamentablemente, este no es el caso. El contraejemplo prototípico en el que esto falla con más fuerza viene dado por $f(X) = X^{4}+1 \in \mathbb{Z}[X]$ . Puede comprobar que $f$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}[X]$ pero (quizás) sorprendentemente, la imagen de $f$ en $\mathbb{F}_{p}[X]$ es reducible para cada primo $p$ . Puede encontrar más detalles al respecto aquí por ejemplo.

Un contraejemplo más banal y de naturaleza algo similar es el siguiente $g(X) = X^{2}+1 \in \mathbb{Z}[X]$ . Claramente, $g$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}$ . Sin embargo, la imagen de $g$ en $\mathbb{F}_{p}[X]$ es reducible para cualquier primo $p$ que es congruente con $1$ mod $4$ . De hecho, en este caso, el grupo $(\mathbb{F}_{p})^{\times}$ es cíclico de orden $p-1$ y por lo tanto contiene un elemento $\alpha$ de orden $4$ . Desde $-1$ es el único elemento de $\mathbb{F}_{p}$ de orden $2$ se deduce que $\alpha^{2} = -1$ es decir $\alpha$ es una raíz de $g$ . Hay infinitos primos congruentes con $1$ mod $4$ por lo que hay infinitos primos tales que $\overline{g}$ es reducible en $\mathbb{F}_{p}[X]$ .

Answer 2

Un resultado en la dirección opuesta a la respuesta proporcionada es este: si $ f \in \mathbf Z[X] $ es irreducible mónico, entonces hay infinitos primos $ p $ tal que modulo $ p $ , $ f $ se divide en factores lineales. Esto se deduce del resultado general de que infinitos primos se dividen completamente en cualquier campo numérico dado; unido al hecho de que para todos los primos, excepto para los finitos, la división de $ f $ modulo $ p $ refleja la división de $ p $ en el anillo de enteros de $ \mathbf Q(a) $ , donde $ a $ es una raíz de $ f $ . Por lo tanto, de hecho no hay $ f $ (de grado superior a $ 1 $ ) que hace que el enunciado de la pregunta funcione.