Convergencia a $0$ de la función theta de Jacobi

Question

Estoy tratando de demostrar que una función $$f(y) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}{(-1)^ke^{-k^2y}}$$ is $O (y)$ while $y$ tends to $+0$. He observado que $f(y) = \vartheta(0.5,\frac{iy}{\Pi})$ $\vartheta$ Dónde está una función theta de Jacobi. Parece que estas funciones están muy bien estudiadas pero no estoy muy familiarizado con esta área.

Cualquier enlaces útiles o sugerencias son muy apreciadas.

Answer 1

UPD: la versión anterior contenía una plaza que no debería estar allí.

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En realidad, su función es aún más expresa simplemente en términos de $\vartheta_4$-función. También, yo prefiero esta notación en la que $$f(y)=\vartheta_4(0,e^{-y})=\vartheta_4\Bigl(0\Bigr|\Bigl.\frac{iy}{\pi}\Bigr).$$ I. e. Yo uso el convenio de $\vartheta_k(z,q)=\vartheta_k(z|\tau)$.

Entonces, para obtener el asymptotics como $y\rightarrow 0^+$, necesitamos dos cosas:

• Jacobi del imaginario de transformación, después de que la transformada de nome y la mitad del periodo se comportan como $q'\rightarrow0$, $\tau'\rightarrow i\infty$ (en lugar de $q\rightarrow1$, $\tau\rightarrow0$): $$\vartheta_4\Bigl(0\Bigr|\Bigl.\frac{iy}{\pi}\Bigr)=\sqrt{\frac{\pi}{y}}\vartheta_2\Bigl(0\Bigr|\Bigl.\frac{i\pi}{y}\Bigr).$$

• La serie de representaciones para theta funciones (por ejemplo, la fórmula (8) en el primer enlace), lo que implica que $$\vartheta_2(0,q')\sim 2(q')^{\frac14}$$ como $q'\rightarrow 0$. Tenga en cuenta que usted también puede obtener un número arbitrario de los términos en la expansión asintótica si quieres.

Teniendo en cuenta las dos cosas de arriba, obtenemos que el líder asintótica plazo está dada por $$f(y\rightarrow0)\sim 2\sqrt{\frac{\pi}{y}} \exp\left\{-\frac{\pi^2}{4y}\right\}.$$

Answer 2

Esto parece no ser correcta. Si $y>0$ entonces cada sumando es mayor que 1 en valor absoluto, por lo que no cambio la serie coincidirán. En particular, uno no puede decir que es $O(y)$ en el sentido obvio.