¿Cómo encontrar la épsilon deseada?

Question

Digamos, por ejemplo, quiero pruebas de que:

$\forall 0<c \in \mathbb{Q} \; $ pt. $\;c^2 < 2 \quad \exists 0<\varepsilon \in \mathbb{Q}\;$ pt. $\; (c + \varepsilon)^2 < 2 $

Y por otra parte, de hecho, quiero encontrar uno.
Iv'e ya se ha convencido de que funciona con $\ \varepsilon = \frac{2-c^2}{c+2} \;$,

Ahora como yo lo veo, es solo una forma de dividir la distancia entre el$c^2$$2$, pero me pregunto acerca de las características de este cociente.

Mi primera pregunta es, ¿cómo podría yo haber encontrado este, o cualquier otro $\ \varepsilon \; $ que satisface ?
Me dijeron que por resolución de $\; (c + \varepsilon)^2 < 2 $ $\ \varepsilon \; $ podría haber encontrado uno, pero realmente no puedo ver cómo funciona con la demanda de un número racional (?). Ahora bien, esto es sólo un ejemplo, y la búsqueda de un elemento deseado es algo que he visto que se repite muchas veces. Hay pautas principales para esto?

BTW,

Yo soy muy nuevo aquí y este es mi primer post.

Answer 1

Si $c^2\lt 2$ y $c\lt \sqrt{2}$.

Considerar la expansión decimal de $\sqrt{2} = 1.41421356...$

Desde $c\lt \sqrt{2}$, $c\lt q$ donde $q$ es igual a los primeros dígitos de #% de #% de % de $n$ $\sqrt{2}$ %.

Que $n$

Entonces es racional, $\epsilon = q-c$ $\epsilon$ y $\epsilon\gt 0$

Answer 2

$\begin{align*} (c + \varepsilon)^2 < 2 &\iff (c + \varepsilon)^2 -c^2< 2-c^2\\ &\iff 2c\varepsilon+\varepsilon^2< 2-c^2\\ \end{align*} $

Si $0 < \varepsilon < 1$, entonces $2c\varepsilon + \varepsilon^2 < 2c\varepsilon + \varepsilon = $\varepsilon (2 c +1).

Por lo tanto, si $\varepsilon < 1$ y $\varepsilon (2 c +1) < 2 - c ^ 2 $, que es lo mismo que $\varepsilon < \frac{2-c^2}{2c+1} $, $(c + \varepsilon)^2 < 2 $.

Answer 3

Desde $2<4$ y $0<c$ tiene $ϵ<2$, $ϵ^2<2ϵ$ y por lo tanto $$ (c + ϵ) ^ 2 = c ^ 2 +2cϵ + ϵ ^ 2 < c ^ 2 + (2 c +2) ϵ $$ si uno elige $$ ϵ\le \frac{2-c^2}{2c+2} $$ luego el lado derecho es todavía menor que $2$.

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También se pudo realizar ese razonamiento con $2<\frac94$ y $ϵ<\frac32$ a $$ (c + ϵ) ^ 2 < c ^ 2 + (2 c + \tfrac32) ϵ $$ y así $$ϵ\le\frac{2(2-c^2)}{4c+3}$ $ como posibilidades válidas.

Answer 4

Deje $0<\varepsilon<1$ ser un número pequeño de personas, entonces tenemos $$(c+\varepsilon)^2=c^2+2\varepsilon c+\varepsilon^2\le c^2+4\varepsilon+\varepsilon=c^2+5\varepsilon$$ since $c\le2$ and $\varepsilon^2\le\varepsilon$. Since $c^2<2$, we see that we can choose an $0<\varepsilon<1$ such that $c^2+5\varepsilon<2$, thus $(c+\varepsilon)^2<2$.

Podemos probar (por Arquímedes de la propiedad) que

Lema 1. Para cualquier número positivo $x>0$ existe un entero positivo $N$ tal que $x>1/N>0$.

Ahora, queremos un $\varepsilon$ tal que $c^2+5\varepsilon<2$, es decir, un $\varepsilon$ tal que $\varepsilon<(2-c^2)/5$, que existe por el Lema 1.

En su caso, desde la $0<(2-c^2)/(c+2)$, hay un $N$ tal que $1/N<(2-c^2)/(c+2)$. Ahora, podemos definir $\varepsilon:=1/N$.

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La clave está, suponiendo que no es tal, $\varepsilon$ , de encontrar alguna relación entre el$(x+\varepsilon)^2$$x^2+K\varepsilon$. Supongamos $x^n<y$. Hay muchas relaciones:

• Primero (fórmula Binominal): $$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}\varepsilon^k.$$ Then use the expansion to obtain $(x+\varepsilon)^n\le x^n+x^{n-1}\varepsilon+\dotsb<y$.
• Segundo: $$(x+\varepsilon)^n\le x^n+\varepsilon((x+1)^n-x^n).$$ A continuación puede encontrar $\varepsilon$ tal que $(x+\varepsilon)^n<x$, $\varepsilon$ tal que $$0<\varepsilon<\min\left\{\frac{x-x^n}{(x+1)^n-x^n},1\right\},$$ lo que sin duda existe.
• Tercero: $$(x+\varepsilon)^n\le x^n+k\varepsilon$$ para algunos $k\in\Bbb R$. Entonces, obtendrá $(x+\varepsilon)^n\le x^n+k\varepsilon<y$, como se desee.

Todas las fórmulas son probados por inducción en $m$.

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Una forma de obtener este tipo de relaciones es ver el comportamiento de al $n$ de aumento. Por ejemplo, supongamos $x,y>0$ ser números racionales, y deje $n\ge1$ ser un número entero. Queremos encontrar alguna relación de la forma $(x+\varepsilon)^n\le x^n+K\varepsilon$ algunos $\varepsilon$$0$$1$.

Tenga en cuenta que $\varepsilon^n\le\varepsilon$ por cada $n$. También, tenga en cuenta que $\varepsilon$ siempre existe por Arquímedes de la propiedad.

El uso de algunos de álgebra, podemos expandir $(x+\varepsilon)^n$ al $n=1,2,3,4,5,\dots$ $$\begin{align}(x+\varepsilon)^2&=x^2+2x\varepsilon+\varepsilon^2\\&\le x^2+2x\varepsilon+\varepsilon\\&=x^2+\varepsilon(2x+1)\\\\(x+\varepsilon)^3&=x^3+3x^2\varepsilon+3x\varepsilon^2+\varepsilon^3\\&\le x^3+3x^2\varepsilon+3x\varepsilon+\varepsilon\\&=x^3+\varepsilon(3x^2+3x+1)\\\\(x+\varepsilon)^4&=x^4+4x^3\varepsilon+6x^2\varepsilon^2+4x\varepsilon^3+\varepsilon^4\\&\le x^4+4x^3\varepsilon+6x^2\varepsilon+4x\varepsilon+\varepsilon\\&=x^4+\varepsilon(4x^3+6x^2+4x+1)\\&\;\;\vdots\end{align}$$

Así tenemos $$\begin{align}(x+\varepsilon)^2&\le x^2+\varepsilon(2x+1)\\(x+\varepsilon)^3&\le x^3+\varepsilon(3x^2+3x+1)\\(x+\varepsilon)^4&\le x^4+\varepsilon(4x^3+6x^2+4x+1)\\(x+\varepsilon)^5&\le x^5+\varepsilon(5x^4+10x^3+10x^2+5x+1)\\(x+\varepsilon)^6&\le x^6+\varepsilon(6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1)\\&\;\;\vdots\end{align}$$

Ahora, supongamos que el $x\le1$; por lo $x^n\le 1$ por cada $n$. Así $$\begin{align}(x+\varepsilon)^2&\le x^2+3\varepsilon\\(x+\varepsilon)^3&\le x^3+7\varepsilon\\(x+\varepsilon)^4&\le x^4+15\varepsilon\\(x+\varepsilon)^5&\le x^4+31\varepsilon\\(x+\varepsilon)^6&\le x^4+63\varepsilon\\&\;\;\vdots\\\end{align}$$

Claramente, la relación de esto es $$(x+\varepsilon)^n\le x^n+(2^n-1)\varepsilon.$$ (podemos demostrarlo por inducción.)

De igual manera, supongamos $x>1$; por lo $x^n\ge x$ por cada $n$. Podemos probar la relación $(x+\varepsilon)^n\le x^n+(2^n-1)x^{n-1}\varepsilon.$

Pero, si no queremos dividir en los casos, podemos probar la relación $$(x+\varepsilon)^n\le x^n+n(2^n-1)(1+x)^n\varepsilon.$$ (Para ver esta relación, trata de demostrar las relaciones anteriores y pensar en cómo evitar los casos cuando algunos $k$ asegura que la relación $(x+k)^n\ge x+k$.)

Answer 5

Hay algunos bien conocidos igualdades (y desigualdades) que puede que desee tener en su caja de herramientas. Cuando involucran natural exponenciación y sumas/restas, tenemos el teorema del binomio y el hecho de que

$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}).$$

Tenga en cuenta que, si $b<a$, tenemos que

$$a^n-b^n<(a-b)na^{n-1}.$$

Esto nos lo podemos utilizar en este problema (el teorema del binomio, no parece apropiado para este caso), y, al mismo tiempo, podemos generalizar el hecho de un arbitrario $n$ en lugar de $2$. En primer lugar, tenga en cuenta que la búsqueda de esos $\epsilon$ es equivalente a encontrar una $\epsilon$ tal que

$$(c+\epsilon)^n-c^n< 2-c^n.$$

Ahora, debido a lo que hemos observado antes, tenemos que

$$(c+\epsilon)^n-c^n < \epsilon n (c+\epsilon)^{n-1}.$$

Por lo tanto, es una cuestión de encontrar una $\epsilon$ tal que

$$\epsilon n (c+\epsilon)^{n-1}< 2-c^n.$$

Con suerte, esto es más fácil de lograr y quita el misterio del descubrimiento de $\epsilon$. Lo voy a dejar como un ejercicio para usted para proporcionar un $\epsilon$ sobre la base de esta última desigualdad. (También hay muchas maneras de argumentar sobre el hecho de... por ejemplo, el lado izquierdo va a$0$$\epsilon$$0$, como se ve fácilmente.)