He estado leyendo a través de Zorich del Análisis "I" del libro hace poco, y me encontré con esta agradable poco de ejercicio.
Deje $f: [0,1]\to \mathbb R$ ser una función continua tal que $f(0)=f(1)$. Mostrar que
para cualquier $n\in \mathbb N$ existe una horizontal intervalo cerrado de longitud $\frac 1n$ con extremos en el gráfico de esta función;
si el número de $\ell$ no es de la forma $\frac 1n$ existe una función de esta forma en cuya gráfica no se puede uno inscribir horizontal de una cuerda de longitud $\ell$.
La primera parte puede ser probada como este: Considere la posibilidad de $g: [0,(n-1)/n] \to \mathbb R$$g(x) = f(x) - f(x+1/n)$. Entonces
$$\sum_{k=0}^{n-1} g(k/n) = 0$$
y, por lo tanto, todos estos puntos son cero o no existe un punto donde la $g$ es positivo y a un punto donde la $g$ es negativo. Por la continuidad, hay también debe ser un punto donde $g = 0$. Así que hemos terminado.
Ahora, la segunda declaración, parecía más bien en contra de la intuición, y se la he dado ya algún tiempo, pero no veo un contraejemplo para $\ell < 1/2$.
(Para $\ell > 1/2$ la función de $f(x) = \sin(2\pi x)$ va a hacer.)
Alguien me puede ayudar?
Saludos,
