¿Se deduce la microcausalidad de la invariancia de Lorentz?

Question

En una teoría invariante de Lorentz, ¿ microcausalidad ¿se mantiene automáticamente? En una teoría libre esto es obvio. En una teoría interactiva he encontrado algunas "pruebas" en este documento: http://arxiv.org/abs/0709.1483

Sin embargo, las pruebas muestran que para los espacios separados $x$ y $y$ $$\langle 0| [\hat{\phi}(x),\hat{\phi}(y)]|0\rangle =0.$$

Pero para que la condición de microcausalidad se cumpla a nivel de operador tenemos que demostrar que $$\langle n| [\hat{\phi}(x),\hat{\phi}(y)]|n\rangle =0\,\, \forall \,n$$

donde $|n\rangle$ forma una base. Mi pregunta es, ¿se puede demostrar esto? ¿O son necesarias más suposiciones?

Answer 1

Si todos los truncados $n$ -Las funciones de punto desaparecen para $n>2$ (es decir, se trata de un llamado campo libre generalizado ), la microcausalidad para los valores de expectativa en el vacío y a nivel del operador son equivalentes. La primera, a su vez, se desprende de la invariancia de Lorentz por sí sola en el caso de campos escalares (pero no necesariamente libres), como demostró Pierre-Denis Methée, que fue alumno de de Rham ( Sobre las distribuciones invariantes en el grupo de rotaciones de Lorentz , Commentarii Mathematici Helvetici 28 (1954) 225-269). Si el campo interactúa, esto ya no es así y entonces, de hecho, la microcausalidad sí no se desprende de la invariancia de Lorentz por sí sola, incluso si la definición positiva de la $n$ -y la condición del espectro energético-momentum también se cumplen. Edición (15 de junio de 2022): Como señala Nanashi No Gombe en los comentarios más abajo, un ejemplo de ello lo proporciona modelos de campo paraestáticos que no necesita comprometerse con la noción de microcausalidad de Bose/Fermi, pero que, no obstante, puede ser covariante de Lorentz.

También es importante señalar que existen teorías de campo cuántico no invariantes de Lorentz que, sin embargo, son microcausales (por ejemplo, algunos modelos acoplados a un campo "éter" externo adecuado). En tales modelos, la microcausalidad y la condición del espectro de energía-momento son suficientes para garantizar que el espectro de energía-momento tenga una forma invariante de Lorentz y, por lo tanto, tenga leyes de dispersión invariantes de Lorentz (es decir, ya sea del tipo "cáscara de masa" o "cono de luz"), incluso en ausencia de de buena fe Invariancia de Lorentz: es una consecuencia de la representación de Jost-Lehmann-Dyson de la función de dos puntos, que no depende de la invariancia de Lorentz. Una vez más, esto demuestra que los conceptos de invariancia de Lorentz y microcausalidad en una teoría cuántica de campos son no equivalente.

Answer 2

Consideremos una teoría de campo escalar invariante de Poincare. Supongamos que tenemos garantizada la invariabilidad de Poincare en el sentido de que existe una representación unitaria del grupo de Poincare que actúa sobre el espacio de Hilbert, que transforma el operador de campo escalar $\phi(x)$ como $$U(g)\phi(x)U(g)^\dagger = \phi(g x)$$ para los elementos $g$ del grupo de Poincare.

Consideremos dos puntos separados en el espacio $x,y$ . Queremos mostrar $$[\phi(x),\phi(y)]\overset{?}{=}0.$$ Por otro lado, sabemos que para dos puntos cualesquiera $x'=(0,\vec{x}')$ y $y'=(0,\vec{y}')$ en el momento $t=0$ tenemos $$[\phi(0,\vec{x}'),\phi(0,\vec{y}')] = 0,$$ lo que se deduce inmediatamente de la perspectiva de la función de onda o de la red; por ejemplo, en una teoría de la red los operadores $\phi(0,\vec{x}')$ y $\phi(0,\vec{y}')$ actúan en diferentes sitios de la red y por lo tanto conmutan.

Este es el paso clave: Obsérvese que para cualquier espacio similar a $x,y$ existe alguna transformación de Poincare $g$ tomando $x,y$ a $x',y'$ es decir, transformando a un marco donde ambos puntos están en $t=0$ . Así que entonces $$U(g)[\phi(x),\phi(y)]U(g^{-1}) =[\phi(0,\vec{x}'),\phi(0,\vec{y}')] = 0$$ y por lo tanto $[\phi(x),\phi(y)]=0$ como se desee.

(En otra respuesta Pedro Ribeiro menciona teorías invariantes de Lorentz que no son microcausales, y no estoy seguro de cómo éstas violan mis supuestos).