Si pongo $M$ bolas en $N$ cajas al azar, ¿cuál es el número medio de bolas en las cajas que no están vacías?

Question

Tengo una pregunta muy breve: si pongo $M$ bolas en $N$ cajas al azar, ¿cuál es el número medio de bolas en las cajas que se no ¿Vacío?

Answer 1

Dejemos que $A$ sea el número de cajas no vacías. Entonces el número medio de bolas en cada caja= $\displaystyle{\frac{M}{A}}$ .

En la distribución aleatoria, el valor de $A$ puede variar.

Probabilidad de $A$ casillas que se seleccionan= $\displaystyle{\frac{\binom{N}{A}}{\binom{N}{1}+\binom{N}{2}+\dots \binom{N}{M}}}$

Por lo tanto, el valor esperado de la media= $\displaystyle{\sum_{A=1}^{M} \frac{M}{A}.{\frac{\binom{N}{A}}{\binom{N}{1}+\binom{N}{2}+\dots \binom{N}{M}}}}$

Answer 2

Dejemos que $X$ denota el número de cajas no vacías.

Entonces $P(X=r)={N\choose r}\left(\frac{1}{2}\right)^r\left(\frac{1}{2}\right)^{N-r}={N\choose r}\left(\frac{1}{2}\right)^N$ (suponiendo una distribución binomial)

Dejemos que $E(Y)$ denota el número medio de bolas en las cajas no vacías,

entonces , $E(Y)|(X=r)=\frac{M}{r}$ (suponiendo una distribución uniforme de las bolas en cajas no vacías)

Entonces $E(Y)=\sum_{r=1}^NP(X=r)E(Y)|(X=r)=\frac{M}{2^N}\sum_{r=1}^N\frac{{N\choose r}}{r}$