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Question

Traté de calcular, pero no podía salir de esto: $$\lim_{x\to1}\frac{x^2+5}{x^2 (\sqrt{x^2 +3}+2)-\sqrt{x^2 +3}}$ $

luego multiplicar por el conjugado.

$$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x^2 +3}-2}{x^2 -1}$$

¡Gracias!

Answer 1

Este problema de límite parece más bien cooperar muy bien con el método "conjugada el factor". Multiplicar el numerador y el denominador por la "conjugada" del numerador para obtener

$$\lim_{x \rightarrow 1} \ \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x^2 - 1} \ \cdot \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x^2+3}+2} $$

$$ = \ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x^2+3) \ - \ 4 }{(x^2 - 1) \ \cdot \ (\sqrt{x^2+3}+2) } = \ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2 \ - \ 1 }{(x^2 - 1) \ \cdot \ (\sqrt{x^2+3}+2) } $$

$$= \ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ 1 }{ \sqrt{x^2+3}+2 } \ = \ \frac{1}{4} \ . $$

Answer 2

Que la derecha se multipliquen "arriba" y "abajo" por el conjugado del numerador. Sospecho que simplemente hizo un par de álgebra errores que se metió pegado con el límite publicado por primera vez:

Así que empezar desde el principio:

$$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x^2 +3}-2}{x^2 -1}$$

y multiplicar la parte superior e inferior por el conjugado, $\;\sqrt{x^2 + 3} + 2$:

$$\lim_{x \to1} \, \frac{\sqrt{x^2 + 3} -2 }{x^2 - 1} \cdot \frac{\sqrt{x ^ 2 + 3} +2}{\sqrt{x^2+3}+2}$$

Ustedes estaban en lo correcto a hacer eso. Usted acaba de perder-calculado y no realmente necesidad de ampliar el denominador, eso es todo.

En el numerador, tenemos una diferencia de cuadrados (que es la razón por la que se multiplica la parte superior e inferior por el conjugado), y la expansión de los factores que nos da: $$(\sqrt{x^2+3}-2)(\sqrt{x^2 + 3} + 2) = (\sqrt{x^2+3})^2 - (2)^2 = (x^2 + 3) - 4 = x^2 - 1$$ And now there's no reason to waste time trying to simplify the denominator*, since we can now cancel the factor $(x^2 - 1)$ de arriba y de abajo: $$\lim_{x\to1}\frac{\color{blue}{\bf (x^2- 1)}}{\color{blue}{\bf (x^2 - 1)}(\sqrt{x^2 +3}+2)}\; = \;\lim_{x \to 1} \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 3}+2}\; = \;\frac{1}{\sqrt{1+3} + 2} \;=\; \dfrac 14$$

Answer 3

Utilice la regla de L'Hospital. Puesto que enchufar $x=1$, le da la forma indeterminada, tomar la derivada del numerador y la derivada del denominador y vuelva a intentarlo el límite.

$\lim_{x\to 1}\frac{(x^2+3)^{\frac{1}{2}}-2}{x^2-1}\implies$% (Vía regla de L Hospital...) $\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{2}(x^2+3)^{-\frac{1}{2}}(2x)}{2x}=\frac{\frac{1}{2}(1^2+3)^{-\frac{1}{2}}(2(1))}{2(1)}=\frac{\frac{1}{2}(4)^{-\frac{1}{2}}(2)}{2}=\frac{1}{2}(4)^{-\frac{1}{2}}=(\frac{1}{2})(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}=(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$

Answer 4

$$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x^2-1}=\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x^2-1}\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x^2+3}+2}=\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^2-1}\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}=\frac{1}{4}$$