Yo era la solución de un problema fácil para la diversión cuando me topé con este, y se preguntaba si esto era correcto y, posiblemente, una nueva prueba del Teorema de Pitágoras.
Dado el triángulo rectángulo $\triangle ABC$, y las longitudes de los lados $a$, $b$, y $c$. Inscribir en $\triangle ABC$ un círculo, que tiene como radio de $r$, y el punto de origen de $O$. Conecte $O$ a los vértices $A$, $B$ y $C$, de tal manera que se forma $\overline{AO}$, $\overline{BO}$, y $\overline{CO}$. Esto crea tres trianlges: $\triangle ABO$, $\triangle BCO$, y $\triangle ACO$. Obviamente el área de estos tres nuevos triángulos es igual a la de $\triangle ABC$. Observe que la radio, $r$, de la circunferencia inscrita es la altura de los tres nuevos triángulos. La adición de las áreas juntos, podemos conseguir: $$\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}=\frac{ab}{2}$$ Solving for $r$, you get: $$r=\frac{ab}{a+b+c}$$
Ahora mira esta foto:
Por la propiedad de la tangencial distancias, sabemos que: $$(a-r)+(b-r)=c$$ So solving for $r$ again, we get: $$r=\frac{a+b-c}{2}$$ Now setting the two equations equal to $r$ igual a la otra y algunas ligeras álgebra: \begin{align} \ \frac{a+b-c}{2}&=\frac{ab}{a+b+c} \\ 2ab&=a^2+ab-ac+ab+b^2-bc+ac+bc-c^2 \\ 2ab&=a^2+2ab+b^2-c^2 \\ c^2&=a^2+b^2 \end{align} Q. E. D.
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