¿Es un mapeo suryectivo de R2 a sí mismo con derivada de rango completo en todas partes necesariamente inyectivo?

Question

Si $f:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^2$ tiene derivada de rango 2 en todas partes, entonces por el teorema de la función inversa es localmente inyectiva. Si es suryectiva, ¿es también necesariamente inyectiva global?

¿Y si consideramos el mismo caso, pero para un mapa de $\mathbb R^{2+}$ a sí mismo (es decir, ( $x\geq 0,y\geq 0$ )?

Answer 1

No, $f$ no necesita ser inyectiva globalmente. Un contraejemplo es $$f:\mathbb C\to \mathbb C:z\mapsto \int_0^ze^{t^2}dt$$

¿Por qué todo ese mapa $f$ ¿subjetivo?
Porque por Teorema de Picard como máximo podría omitir un valor $b\in \mathbb C$ es decir $f(\mathbb C)=\mathbb C\setminus \{b\}$ .
Por supuesto, ese potencial $b$ es distinto de cero, ya que $f(0)=0$ .
Pero como $f(-z)=-f(z)$ si se salta $b$ también omitiría $-b$ para que realmente $b$ no existe y $f$ es efectivamente suryectiva.
¿Por qué todo ese mapa $f$ ¿no es inyectiva?
Porque entonces sería biyectiva y las únicas biyecciones holomorfas $u:\mathbb C\to \mathbb C$ son de la forma $u(z)=az+b$ y tienen derivada constante $u'(z)=a$ .
Sin embargo $f'(z)=e^{z^2}$ no es constante.
¿Por qué $f$ tienen rango real máximo en todas partes?
Porque $f'(z)=e^{z^2}$ nunca desaparece.

Nota Bene
He utilizado ese $\mathbb C$ es sólo $\mathbb R^2$ dotado de su conocida estructura compleja suplementaria.