integración por sustitución, el uso de $\;t = \tan \left(\frac 12 x\right)$

Question

$\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{1}{2-\cos x} \, dx$ mediante la sustitución de $t=\tan\frac{1}{2}x$

• $x=2\tan^{-1}t$

• $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{2}{1+t^2}$

• $dx=\dfrac{2}{1+t^2}\,dt$

• $\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{2-\cos x}\right)\left(\frac{2}{1+t^2}\right)\,dt$

Es esta la mejor idea? Si es así ¿qué debo hacer?

$\displaystyle\int_0^1\left(\frac{1}{2-\frac{1-t^2}{1+t^2}}\right) \,\left(\frac{2}{1+t^2}\right)\, dt$

$\displaystyle\int_0^1\frac{2}{1+3t^2}\,dt$

$=2\left[\frac{\ln(1+3t^2)}{6t}\right]_0^1$

Answer 1

Si $\;t = \tan\left(\frac 12 x\right)$, xo $\,x = 2\tan^{-1}t,\,$ lo que debe $\dfrac 1{2 - \cos x}$ entonces?

Necesitamos reemplazar la función (integrando) de $x$ a uno se expresa como una función de la $t$.

¿Cuáles son los nuevos límites para $\,t\,$ si $\;t = \tan\left(\frac 12 x\right)$?

Cuando $x = 0,\;$ $t = \tan\left(\frac 02\right) = 0$. Bien. Pero, al $x = \pi/2$, el límite superior de la integración de los ser $t = \tan\left(\pi/4\right)$

Ver Weierstrass Sustitución por qué $\;\cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2},\;$ y, en general, para la lógica de utilizar "$t$-sustitución": $t = \tan \frac x2$.

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AÑADIÓ:

Después de la sustitución de todo lo anterior, debemos tener el integrando:

$$\frac{1}{2-\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}=\frac{2}{2(1+t^{2})-(1-t‌​^{2})}=\frac{2}{1+3t^{2}}=\frac{2}{1+(\sqrt{3}t)^{2}}$$

Así tenemos

$$\int_0^1 \frac{2}{1+(\sqrt{3}t)^{2}}\,dt = 2\int_0^1 \frac{1}{1+(\sqrt{3}t)^{2}}\,dt\tag{1}$$

Ahora, me temo que decir que el trabajo aún no ha terminado. No podemos usar $\ln|f(t)|$ donde $f(t) =1 + \sqrt{3}t)^{2}$ porque no tenemos una integrando en forma de $\;\dfrac{f'(t)}{f(t)} \,dx$.

Pero todos estamos conjunto con $(1)$ el uso de la sustitución de $$u = \sqrt 3 t.\,\implies du = \sqrt 3 dt \implies dt = \dfrac{1}{\sqrt 3} du$$

A continuación, tenemos una integrando de la forma $$2 \int_0^{\sqrt 3} \dfrac{1}{\sqrt 3} \dfrac{1}{1 + u^2}\,du = \dfrac{2}{\sqrt 3}\int_0^{\sqrt 3} \dfrac{1}{1 + u^2}\,du\tag{2}$$

Ahora, tenemos que recordar que $$\int \dfrac {1}{1 + u^2} \,du = \tan^{-1}u + C\tag{$\estrella de$}$$

Puede usted probar y terminar de aquí? Se aplican $\star$ a la integral dada por $(2)$

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$(\star)$ Ver trigonométricas sustitución para integrales implican $a^2 + u^2$ donde $a$ es una constante. Nuestros integral es de la misma forma, con $a = 1$:

$$\int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac 1a\tan^{-1}\left(\frac ua\right)\,+ C$$

Answer 2

Sugerencia:

Al $\tan \dfrac{x}{2}=t$ $ \cos x= \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$

Answer 3

Si $x=2\arctan t$$\cos x = \cos\left(2\arctan t\right)$. Utilice el hecho de que $\cos(2u)=\cos^2u-\sin^2u$. Así que usted consigue $$ \cos x = \cos^2\left(\arctan t \right) -\sin^2\left(\arctan t \right) $$

Si $\varphi=\arctan t$$\dfrac t1=t = \tan\varphi=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$, lo $\cos\varphi=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$. Así $\text{opposite}=t$, $\text{adjacent}=1$, y por el teorema de Pitágoras $\text{hypotenuse}=\sqrt{1+t^2}$.

A continuación,$\cos=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$, por lo que $$ \cos^2(2\arctan t) = \cos^2 (\cdot)-\sin^2(\cdot) = \left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)^2 - \left(\text{algo similar}\right)^2 = \cdots\cdots $$