En la j-función de $j\big(\frac{1+\sqrt{-31}}{2}\big)$ especiales y cúbicas

Question

Dada la j-función,

$$j(\tau) = {1 \over q} + 744 + 196884 q + 21493760 q^2 + \dots$$

Parece que para $\tau = \frac{1+\sqrt{-d}}{2}$$d=12n+7$, entonces tiene la forma,

$$j(\tau) = 12^3(1-x^2)^3\tag1$$

donde $x$ es un número algebraico de grado igual al número de clase $h(-d)$. Por ejemplo, si $d=31$, $x$ es una raíz de,

$$8x^3 - 24x^2 - 90x - 81 =0\tag2$$

Es fácil de resolver para la verdadera raíz de la $(2)$ utilizando la fórmula de Cardano. Sin embargo, como he visto en este enlace, también puede ser expresada en el lugar de forma estética,

$$x = 1+\tfrac{\sqrt{19}}{2}\left(\left(\tfrac{13-\sqrt{93}}{13+\sqrt{93}}\right)^{1/2}\left(\tfrac{\sqrt{31}+\sqrt{27}}{\sqrt{31}-\sqrt{27}}\right)^{1/3}+\left(\tfrac{13+\sqrt{93}}{13-\sqrt{93}}\right)^{1/2}\left(\tfrac{\sqrt{31}-\sqrt{27}}{\sqrt{31}+\sqrt{27}}\right)^{1/3}\right)\tag3$$

Para$d = 139$,,

$$x^3 - 141x^2 + 351x - 243 = 0\tag4$$

Pregunta: ¿Cómo podemos expresar la verdadera raíz de la $(4)$ en una forma similar a $(3)$? Si no es posible, ¿cuáles son las condiciones especiales en los coeficientes de una cúbicos, por lo que es expresable como tal?

Answer 1

Después de algunos retoques, me las arreglé para responder parcialmente a mi pregunta y resulta que involucra ecuaciones de Pell.

A. Para $d = 31$. Dada la Cardano solución para el cúbicos,

$$8x^3-24x^2-90x-81=0\tag1$$

$$x = 1+\frac{1}{2}\Big(\frac{187+9\sqrt{93}}{2}\Big)^{1/3}+\frac{1}{2}\Big(\frac{187-9\sqrt{93}}{2}\Big)^{1/3}\tag{1a}$$

parece que el que ha publicado la estética de la versión en la j-función de enlace esencialmente factoriza la expresión dentro de la raíz cúbica como,

$$\alpha = \frac{187+9\sqrt{93}}{2} = \beta^3\, U$$

por lo tanto, un producto de un cubo y $U$ como una unidad fundamental. De la $12$ ( $16$ ) fundamental discriminantes con número de clase $h(-d) = 3$, y con forma de $12n+7$, sólo había tres tal que la unidad fundamental de la $p+q\sqrt{d}$ pequeños,$p,q$, es decir,$d=31,\,331,\,547$.

Por lo tanto, $(1a)$ luego pueden ser expresadas, alternativamente, como,

$$x = 1+\tfrac{1}{4}\big(13-\sqrt{93}\big)\,U_1^{1/3}+\tfrac{1}{4}\big(13+\sqrt{93}\big)\,U_1^{-1/3}$$

donde,

$$U_1 = \frac{\sqrt{31}+\sqrt{27}}{\sqrt{31}-\sqrt{27}}=\frac{29+3\sqrt{93}}{2} $$

con $29^2-93\cdot3^2=4$ y que tendrá sólo un poco de ajuste para llevar a $x$ a del formulario en el post, como con los dos de abajo.

B. Para $d = 331$.

$$x^3 - 3957 x^2 - 5481 x - 11907 = 0\tag2$$

$$x = 1319+2\big(5773-182\sqrt{993}\big)\,U_2^{1/3}+2\big(5773+182\sqrt{993}\big)\,U_2^{-1/3}$$

donde,

$$U_2 = \frac{\sqrt{1324}+\sqrt{1323}}{\sqrt{1324}-\sqrt{1323}}=2647+84\sqrt{993}$$

Nota que la solución fundamental de la ecuación de Pell $2647^2-993\cdot 84^2=1$.

C. Para $d = 547$.

$$x^3 - 60081 x^2 - 152361 x - 100359=0\tag3$$

$$x = 20027+2\big(103420-2541\sqrt{1641}\big)\,U_3^{1/3}+2\big(103420+2541\sqrt{1641}\big)\,U_3^{-1/3}$$

donde,

$$U_3 = \frac{\sqrt{2188}+\sqrt{2187}}{\sqrt{2188}-\sqrt{2188}}=4375+108\sqrt{1641}$$

y $4375^2-1641\cdot 108^2=1.$

Por supuesto, la pregunta que queda es ¿por qué $\alpha$ puede ser factorizado como $\alpha=\beta^3\, U$ $U$ como unidad fundamental.

Answer 2

hacer que una respuesta así que usted puede ver. A partir de su propia respuesta, parece que desea $x^2 + xy + 83 y^2$ $x^2 + xy + 137 y^2$ en lugar de $x^2 + 331 y^2$$x^2 + 547 y^2.$, por tanto, ver

Si realmente quería que la última formas, esas son la clase de número de $9$ y tomará más tiempo.