El conjunto de todos los operadores normales en un espacio de Hilbert no es fuertemente cerrado

Question

Necesito un ejemplo para demostrar que el conjunto de todos los operadores normales sobre un espacio de Hilbert no es fuertemente cerrado. También sé que la topología fuerte de operadores y la topología fuerte* de operadores coinciden en el conjunto de todos los operadores normales, así que ¿podría concluir que este conjunto no es fuertemente* cerrado?

Answer 1

Ahora mismo no tengo un ejemplo concreto en la cabeza.

Pero he aquí el hecho: los límites fuertes de los operadores normales son precisamente los subnormal operadores.

Añadido mucho más tarde: aquí hay una ruta para mostrar lo anterior. Se puede mostrar

• las proyecciones son wot-densas en la bola unidad

• porque la bola unitaria es convexa, sus cierres sot y wot coinciden

De lo anterior se desprende que podemos hacer lo siguiente: empezar con el desplazamiento unilateral $S$ que es subnormal. Construir una red $\{P_j\}$ de proyecciones con $P_j\to S$ wot. A continuación, construye una red $\{Q_k\}$ donde ech $Q_j$ es una combinación convexa de algunos $P_j$ y $Q_k\to S$ sot.