Disposición de círculos alrededor de un círculo

Question

$N$ los círculos vienen dados por sus radios: $r_1$ , $r_2$ ,..., $r_N$ . Se disponen alrededor de otro círculo de forma que se empaqueten, como en esta imagen (orden de $N$ deben conservarse los círculos):

¿Cuál es el radio $R$ de ese círculo central (en función de $r_1$ , $r_2$ ,..., $r_N$ )? (el círculo central es rojo en la imagen de arriba)

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CONTEXTO: Está relacionado con algunos problemas reales de visualización de datos.

NOTA: Creo que lo malo de mi pregunta es que la palabra "pack" no está estrictamente definida. Ahora puedo ver muchos casos de esquina que aumentan la complejidad... Estaré contento incluso con respuestas que no cubran todos los casos y/o se limiten a casos de pequeño $N$ .

Answer 1

Para tres circunferencias tangentes exteriormente, de radios $r_1$ , $r_2$ , $R$ Consideremos el triángulo formado por sus centros. Longitudes de los lados $r_1+r_2$ , $r_1+R$ , $r_2+R$ y el ángulo subtendido en el círculo central se puede obtener a partir de la regla del coseno.

Se conseguirá un empaquetamiento completo si la suma de los ángulos de cada par de círculos $r_i, r_{i+1}$ sumará $360^\circ$ que es esta horrible expresión: $$ 2\pi = \sum_{i=1}^{N} \cos^{-1} \left(\frac{ (r_i+R)^2 + (r_{i+1}+R)^2 - (r_i + r_{i+1})^2}{2(r_i+R)(r_{i+1}+R)}\right).$$

Esto debería poder resolverse numéricamente, ya que supongo que los ángulos individuales son monotónicos con $R$ (con límite $R > min(|r_i - r_{i+1}|)$ .