Encuentra todo$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que$f(a) + f(b) \mid a+b, \ \forall \ a, b \in \mathbb{N}$

Question

Encontrar todos los $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tal que $$f(a) + f(b) \mid a+b, \ \forall \ a, b \in \mathbb{N}$$

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Todo lo que puedo encontrar es la siguiente:

Si ponemos $a=b=n$ obtenemos $f(n)\mid n$, lo $f(n)\leq n$ todos los $n \in \mathbb{N}$.

Por lo $f(1)=1$ y tenemos $f(n)+1\mid n+1$.

Cualquier sugerencia de cómo proceder?

Answer 1

Como se ha mencionado en los comentarios tenemos que $f(p-1) = p-1$ primer $p$. Ahora vamos a $n \in \mathbb{N}$. Existe prime $p$ s.t. $p-1 > n$. Entonces tenemos:

$$f(n) + p - 1 \mid n + p-1$$

Tenemos que el mayor divisor adecuado de $n+p-1$ está delimitada desde arriba por $\frac{n+p-1}{2} < p-1$

Pero $f(n) + p - 1 > p -1$, por lo que debe ser $n+p-1$. Por lo tanto $f(n) = n$ y la prueba de ello.

Answer 2

Utilizaremos $f(a)+f(b)|b-f(b)+a-f(a)$ a demostrar por inducción que $f$ es la función identidad. Suponga que en lugar de $b$ es el menos contraejemplo. Desde $a+f(b)|b-f(b)$$a<b$, todos los números enteros de $f(b)+1$ $f(b)+b-1$incluido dividen $b-f(b)$, que por hipótesis es positiva y supera sus factores. Estos incluyen la $f(b)+b-1\ge b$, una contradicción.