Estoy trabajando en una pregunta larga. Voy a escribir la pregunta, y lo que he encontrado hasta ahora. No estoy seguro de si la pregunta tiene demasiadas partes para recibir respuestas, pero agradezco cualquier ayuda en absoluto.
La pregunta es
La secuencia de Fibonacci $(a_{n})_{n=0}^\infty$ está definido por $a_{0}=1$, $a_{1}=1$ y $a_{n+1}:=a_{n}+a_{n-1}$ todos los $n\geq 1$.
(a) Mostrar que $\frac {a_{n+1}}{a_{n}}\leq 2$ $n\geq 0$
(b) Deje $f(x):=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$. Mostrar que $f(x)$ converge si $|x|<\frac{1}{2}.$
(c) Si $|x|<\frac {1}{2}$ demostrar que $f(x)=\frac{1}{1-x-x^{2}}$.
(d) el Uso de la fracción parcial de la descomposición de $\frac {1}{1-x-x^{2}}$ y la serie geométrica para obtener otra potencia de la serie de la expresión de $f$.
(e) Mediante la comparación de los coeficientes muestran que $a_{n}=\frac {1}{\sqrt{5}}\left ( \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{n+1}- \left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{n+1} \right )$
Voy a comenzar con lo que he sido capaz de lograr y mi intuición hasta ahora, en el orden de las partes de la pregunta.
(a) he iniciado la reorganización de la siguiente manera:
$$\frac {a_{n+1}}{a_{n}}=\frac {a_{n}+a_{n-1}}{a_{n}}\leq 2$$ $$1+\frac {a_{n-1}}{a_{n}}\leq 2$$ $$\frac {a_{n-1}}{a_{n}}\leq 1$$
Así que tengo que mostrar que $a_{n-1}\leq a_{n}$$n\geq 0$. Intuitivamente esto tiene sentido para mí. El Fibonnaci secuencia está en constante aumento (aceptar para los dos primeros términos). Un plazo va a ser siempre menor o igual al plazo que viene después. He tratado de demostrar esto mediante la inducción, pero he tenido éxito. Tal vez lo que tengo es suficiente?
(b) Este sigue claramente de la parte (a). He hecho la siguiente mediante la prueba de razón para encontrar el radio de convergencia.
Deje $b_{n}=a_{n}x^{n}$$b_{n+1}=a_{n+1}x^{n+1}$. Así,
$$\left | \frac {b_{n+1}}{b_{n}} \right |=\left | \frac {a_{n+1}x^{n+1}}{a_{n}x^{n}} \right | = \frac {a_{n+1}}{a_{n}} \cdot |x|$$
Tomando el límite
$$\lim_{n \to \infty} \frac {a_{n+1}}{a_{n}} \cdot |x|=(\lim_{n \to \infty} \frac {a_{n+1}}{a_{n}}) \cdot |x|=L$$
El límite de $n \to \infty$ $\frac {a_{n+1}}{a_{n}}$ no puede ser mayor que 2. También sé que $L$ no puede ser mayor que 1 para que haya convergencia. He intentado esto
Deje $1< \epsilon \leq 2$.
$$(\lim_{n \to \infty} \frac {a_{n+1}}{a_{n}}) \cdot |x|=\epsilon |x|<1$$
A continuación,$|x|<1/\epsilon$. Pero esto no funciona. Si, por ejemplo, según lo permitido por las condiciones que he dicho, $\epsilon=1.2$,$|x|>1/2$.
(c) he hecho lo siguiente con base en la entrada de Wikipedia para secuencias de Fibonacci.
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$$
$$=a_{0}+a_{1}x+\sum_{n=2}^{\infty}(a_{n-1}+a_{n-2})x^{n}$$
$$=1+x+\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}x^{n}+\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^{n}$$
$$=1+x+x \cdot \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}+x^{2} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$$
Así,
$$f(x)=1+x+xf(x)+x^2f(x)=\frac {1+x}{1-x-x^{2}}$$
Obviamente he pasado mal en algún lugar. Tomando una ruta diferente me reconoció que debido a $|x|<1/2<1$, puedo volver a escribir $f$
$$f(x)=\frac {1}{1-x} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$$
Esto no ha demostrado ser útil todavía.
(d) he encontrado la fracción parcial de la descomposición de usar Wolfram Alpha para ser
$$\frac {1}{1-x-x^2}=\frac {2}{(5+\sqrt{5})+(\sqrt{5}\cdot 2x)}+\frac {2}{(5-\sqrt{5})-(\sqrt{5}\cdot 2x)}$$
$$= \frac {2}{5+\sqrt{5}} \cdot \frac {1}{x \frac{2}{\sqrt{5}+1}+1}+\frac {2}{5-\sqrt{5}} \cdot \frac {1}{x \frac{2}{\sqrt{5}-1}+1}$$
$$=\frac {2}{5+\sqrt{5}} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{2x}{\sqrt{5}+1})^{n}+\frac {2}{5-\sqrt{5}} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{2x}{\sqrt{5}-1})^{n}$$
