Equilibrio de un Cuadrado latino

Question

Estoy buscando un algoritmo que forme un equilibrado (o casi completa) de los cuadrados latinos, en la que cada elemento es horizontal y vecino de cualquier otro elemento exactamente dos veces, y una vertical vecino de cualquier otro elemento exactamente dos veces.

He encontrado un ejemplo, para n = 5), pero no estoy claro sobre un par de pasos:

Paso 1: Escribir 1 2 ... n como la primera fila

12345

Paso 2: Para i incluso en la primera fila, de relleno en la diagonal desde la esquina superior izquierda a la inferior derecha, comenzando con el yo y alternando con i - 1

12345
  1 3
   2
    1

Paso 3: Para i impar y a menos de n en la primera fila de relleno en la diagonal desde la parte superior derecha a la inferior izquierda, comenzando con i y alternando con i + 1

12345
 41 3
3  2
    1

Paso 4: Rellenar n para el principal fuera de la diagonal

12345
 4153
3 52
 5  1
5

Paso 5: Para la última columna escriba n n-2 n-1 n-1 2 3 ...

12345
 4153
3 524
 5  1
5   2

Paso 6: Para el que incluso las entradas de la última columna de relleno, en la diagonal desde la esquina superior izquierda a la inferior derecha, comenzando con el yo y alternando con i - 1

?

Paso 7: Completar por la simetría alrededor de la diagonal principal

?

Para n = 5, se obtiene:

12345
24153
31524
45231
53412

Preguntas...

[RE: Paso 5] yo era capaz de llenar en que parte de la plaza, pero no estoy seguro de lo que habría de venir después de n-3 en un mayor tamaño de la secuencia, ya que sería ir n n-2 n-1 n-3 ??? ... 1 2

[RE: Paso 6] incluso las entradas de los números, o que se refieren a posiciones incluso en la columna? Es el "yo" en este caso el número en la parte superior izquierda o es el incluso la entrada? No veo cómo el completado de la plaza corresponde a las instrucciones en este paso.

[RE: Paso 7] ¿Qué significa "completo por la simetría alrededor de la diagonal principal" significa?

De lo contrario, si hay menos involucrados algoritmo de equilibrio de un cuadrado latino, me gustaría saber cómo va.

Answer 1

El cuadrado latino L:

12345
24153
31524
45231
53412

es isomorfo a la tabla de Cayley del grupo cíclico de orden 5 a través del isomorfismo (3,5,4). Es decir, si permutar las filas, las columnas y los símbolos de L de acuerdo a la permutación (3,5,4) que va a generar

12345
23451
34512
45123
51234

El n=7 caso da lugar a la plaza américa

1234567
2416375
3152746
4627153
5371624
6745231
7563412

que es isomorfo a la tabla de Cayley del grupo cíclico de orden de 7 a través del isomorfismo (3,7,5,6,4).

Con esto en mente, mi sospecha es que estos cuadrados latinos son casos especiales de las que se generan en las construcciones descritas por Romero Bailey en Cuasi-completa los cuadrados latinos: la construcción y la aleatorización, aunque no he entrado en los detalles.

Como para los más pequeños de preguntas:

• En los papeles, por una entrada que me refieren exclusivamente a un triple de $(i,j,l_{ij})$ donde $i$ es el índice de fila, $j$ es el índice de columna y $l_{ij}$ es el símbolo de la $(i,j)$-de células th. Por ejemplo (2,3,1) sería una entrada de la primera cuadrado latino. Es importante destacar que, en una entrada, la posición en el cuadrado latino es importante, mientras que en un símbolo, no existe la noción de posición (aparte de estar en algún lugar en el cuadrado latino). En consecuencia, se debería usar el término "incluso símbolo" (aunque tenga en cuenta que los símbolos que usa hacen ninguna diferencia si usted tiene o no una casi completa de los cuadrados latinos).

• Los cuadrados latinos L tal que $L^T=L$ se llama simétrica cuadrados latinos (al igual que para matrices simétricas). Al dar detalles de la construcción de estos tipos de cuadrados latinos, me encuentro escribiendo "...entonces L admite un único finalización de un simétrica cuadrado latino" o similar. No hay necesidad de identificar cada entrada ya que algunas entradas están determinados por las otras entradas.