Demostrando que $(A\setminus C)\cap(B\setminus C)\cap(A\setminus B)=\emptyset$

Question

Para cada una de las $A,B,C$ ¿cómo puedo demostrar que $(A\setminus C)\cap(B\setminus C)\cap(A\setminus B)=\emptyset$ ?

Mis pensamientos son si $x\in (A\setminus C)\cap(B\setminus C)\cap(A\setminus B)$,$x\in (A\setminus C)$$x\in (B\setminus C)$$x\in (A\setminus B)$$x \in A$$x \not \in C$$x \in B$$x \not \in C$$x \in A$$x \not\in B$.

¿Cómo puedo seguir desde aquí?

Answer 1

Ha $x\in B$$x\not\in B$. El aviso de un problema aquí?

Answer 2

Parece que se han recogido en el principal problema a través de avid19 del empuje en la dirección correcta, pero me animo a pensar acerca de la asociatividad de $\cap$, algo que inmediatamente responder a la pregunta para usted: \begin{align} (Α\setminus C)\cap(B\setminus C)\cap(A\setminus B)&= (A\cap C^C)\cap(B\cap C^C)\cap(A\cap B^C)\tag{by defn.}\\[0.5em] &= A\cap C^C\cap B\cap C^C\cap A\cap B^C\tag{assoc. of %#%#%}\\[0.5em] &= A\cap A\cap C^C\cap C^C\cap B\cap B^C\tag{assoc. of %#%#%}\\[0.5em] &= (A\cap A)\cap (C^C\cap C^C)\cap (B\cap B^C)\tag{parens}\\[0.5em] &= (A\cap C^C)\cap(B\cap B^C)\tag{simplify}\\[0.5em] &= (A\cap C^C)\cap\varnothing\tag{simplify}\\[0.5em] &= \varnothing\tag{simplify}. \end{align} Eso fue probablemente lo que alguien tenía en mente a la hora de diseñar que el ejercicio; es decir, el objetivo era para usted para ver cómo utilizar la asociatividad de $\cap$ a la conclusión de que usted termina con $\cap$, donde se puede ver de inmediato que esto se reduce a $\cap$, del lado derecho.