Se relacionan con la serie armónica de alguna manera? O algo más? Wikipedia no ayuda.
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Considere la posibilidad de una hoja de piel estirada en un plano de percusión de la cabeza y tocó la batería. Cuando el tambor de la cabeza es en forma de vibración, vamos a $f(x,y,t)$ estar a la altura del tambor de la cabeza en la posición $(x,y)$ y el tiempo de $t$. A continuación, $f$ obedece a la ecuación de onda: $$\frac{\partial^2}{\partial t^2} f = c^2 \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} f + \frac{\partial^2}{\partial y^2} f \right) \quad (\ast) $$ donde $c$ es una constante física relacionados con cosas como lo ajustado de la piel se estira y lo que se hace fuera de. Esta solución también debe obedecer a la limitación física que no hay movimiento en el límite del tambor, donde la piel es clavado.
Cada sonido puede ser compuestos en sus matices. Un puro entonada con frecuencia $\omega$ corresponde a la solución de la ecuación de onda que se parece a $f(x,y,t) = g(x,y) \cos(\omega t+b)$ donde $$- \frac{\omega^2}{c^2} g =\frac{\partial^2}{\partial x^2} g + \frac{\partial^2}{\partial y^2} g \quad (\ast \ast).$$ Por lo tanto, para entender el sonido de un tambor, uno debe averiguar para que $\omega$ el PDE $(\ast \ast)$ tiene soluciones que son cero en el límite del tambor. Esto se llama computación en el espectro del tambor, y una propiedad del tambor que sólo depende de estos $\omega$'s se llama una propiedad que uno "puede escuchar".
La frecuencia más baja, lo que dará el tono fundamental del tambor, corresponderá a la menor distinto de cero $\omega$ que $(\ast \ast)$ tiene soluciones. Por supuesto, $(\ast \ast)$ siempre tiene la solución que $g$ es una constante y $\omega =0$.
OK, así que ahora que tenía sentido. Ahora la terminología que se hace algo ilógico. El nombre de "armónica" se adhieren a la menor trivial frecuencia, pero a la frecuencia cero. Es decir, $g$ es llamado "armónico" si obedece a $$0=\frac{\partial^2}{\partial x^2} g + \frac{\partial^2}{\partial y^2} g \quad (\ast \ast \ast).$$ No conozco la historia real aquí, pero creo que en esto como una forma de matemáticos de la oscuridad. "Los músicos quieren estudiar la menor frecuencia de vibración? Así que usted no puede obtener un menor que cero!"
La física real pregunta dirigida por $(\ast \ast \ast)$ es "¿cuáles son los posibles estable de formas para que un parche de tambor, si el límite no es plana? Así, si el borde de mi tambor varía en altura, pero yo girar el tambor de todas formas, ¿de qué forma tendrá el parche del tambor sentarse en cuando no estamos golpeando en ella? Este es el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace; si me dan los valores de una función armónica en el límite, lo que hace que el interior parece?
sewo
Puntos
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Creo que la relación es que ambos están conectados al estudio de las vibraciones de una cuerda tensa, con antecedentes que se remontan a la antigua Grecia. Los Griegos descubrieron que bien que suena (armónica!) el tono de los intervalos fueron relacionados con los pequeños enteros de las proporciones entre las dimensiones de los productores del sonido.
Para una visión idealizada de instrumentos de cuerda, la longitud de onda de los modos fundamentales de las vibraciones $\frac{2L}{n}$, $n\in \mathbb N^+$. Estos son también los términos de una serie armónica, de ahí el nombre de este último.
En otra dirección, el estudio de las oscilaciones de la más general de los objetos físicos de cuerdas conduce a las ecuaciones diferenciales parciales que son variaciones de la ecuación de onda. Armónica de funciones , a continuación, codificar las amplitudes relativas a diferentes lugares en el objeto para cada modo de vibración.
