Convergencia uniforme de las funciones convexas en conjunto ilimitado

Question

Deje $f_n:[0,\infty[\,\to\mathbb{R}$ ser convexa de la disminución de las funciones de $x$, para todos los $n\in\mathbb{N}$.

Supongamos que existe $\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to\infty}f_n(x)=\lambda$.

Supongamos también que existe $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$.

Puedo intercambio de los límites y decir que $\lim_{x\to\infty}f(x)=\lambda$ ?

Sé que cada secuencia convergente de funciones convexas en un intervalo abierto es uniformemente convergente en compacto de sub-intervalos. Aquí puedo hacer algo para lidiar con el hecho de que $x\to\infty$? Tal vez es posible concluir añadiendo algunas hipótesis?

Answer 1

Usted no se puede intercambiar los límites aquí. Un contraejemplo es $f_n(x) = \exp(-x/n)$, que le da $\lim_{x\to\infty} f_n(x) = 0$, pero $\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 1$.

Este contraejemplo también muestra que, incluso con muy buen funciones (estrictamente convexo con derivadas de todos los órdenes conjuntamente limitado), uniforme la convergencia no se puede concluir si el dominio no es (totalmente) delimitado. Para que razón, me inclino a decir que el hecho de que las funciones son convexas probablemente es de ninguna utilidad.